Diferansiyel Denklemler Nedir

0
2254
diferansiyel denklemler nedir

Bu yazımızda sizlere diferansiyel denklemler nedir konusunu anlatacağız. Diferansiyel denklemler, en basit biçimiyle, bir x(t) fonksi­yonu, bunun x'(t) türevi ve t değişkeni arasında bir bağıntı olarak tanımlanabi­lir. Bu üç büyüklüğün söz konusu oldu­ğu bir eşitlik olarak ortaya çıkar. Böyle bir denklemi çözmek, en iyi durumda, t’nin her değeri için denklemin doğrulanacağı x(t) fonksiyonunu bulmaktır. Somut bir gösterimde, t zaman olarak alındığında x(t), noktanın izlediği yol ve x'(t) hızıdır ve diferansiyel denklem, konum ve hız arasında her an var olan bağıntıyı belirtir; bu denklemi çözmek, buna uyan bir hareketi betimlemek an­lamına gelir.

Diferansiyel denklemler, birçok fonk­siyonun söz konusu olduğu birçok, ba­ğıntı göz önüne alınarak, daha genel şekilde tanımlanabilir: böyle bir tanım ya­pılması halinde bir diferansiyel sistem or­taya çıkar. Öte yandan, söz konusu fonksiyonun birinci türevinden başka, daha yüksek basamaktan türevleri de söz konusu olabilir.

Diferansiyel denklemlerin genel çö­zümü, matematiğin en zor problemle­rinden biridir. Bu denklemlerin, tipleri­ne göre sınıflandırılması yoluna gidildi, ilk sınıflandırma öğesi, kullanılan türevlerin derecesidir: birinci ve ikinci türev­lerin kullanıldığı bir diferansiyel denk­lem ikinci derecedendir. İkinci sınıflandırma öğesi, cebirsel biçimdir; nitekim, doğrusal, ikilenik vb denklemler vardır.

Bir diferansiyel denklemi çözmek i- çin, denklem, çözümü bilinen, ama bili­nen fonksiyonlar arasında çözümler bu­lunduğundan emin olunmayan bir sını­fa yerleştirilir. Yapılan bu işlem bazen yeni fonksiyonların oluşturulmasına yol açabilir; mesela üslü fonksiyon,

diferansiyel denklemlerdenkleminin çözümü ola­rak tanımlanmıştır. Diğer yandan, çö­zümün biçimi yalnız denklem tipini in­celeyerek anlaşılamaz; nitekim,

diferansiyel denklemler nedir konu anlatımıdenkleminin k’nın değer­lerine göre farklı çözümleri vardır; k ’nın bazı değerleri için, çözüm, dönemsel bir fonksiyondur; armonik salınım üreteç­leri buna iyi bir örnektir.

Daima n’inci dereceden bir denklem, birinci dereceden n denklemli bir siste­me eşdeğer hale getirilebilir. Bu du­rumda denklem mekanik modelden esinlenerek bir vektör alanı olarak yorumlanabilir; bu alanın her P noktası fazlar uzayında gelişimini sürdüren soyut bir sistemin bir durumunu temsil eder. Bu noktaya eşlik eden vektör, sistemin ge­lişiminin anî hızını belirtir. Bu hızın sıfıra indiği nokta, tekil nokta adını alır; bu noktanın özel bir rolü var­dır; çünkü tek başına, denklemin çözü­münü verir.

Denklemin çözümüne integral çizgisi denir ve bu soyut P noktasının izlediği yol (yörünge) olarak yorumlanabilir. Bazen, integral çizgiler, yaklaşıklık yöntemleriyle belirlenebilir.

Üslü Fonksiyonun Bulunmasını Sağlayan Bu (x’ = ax) Diferansiyel Denklemler

Bir topluluğun nüfusunu göz önüne alalım. Bireylerin sayısının değişim oranı ve bu oranın zaman içinde değişmediği biliniyorsa, bu sayının ne şekilde değişeceği öngörülebilir. Bu oran küçük olsa bile, pozitif olduğu andan itibaren, nüfus daha hızlı artacaktır. Bu sonuç kuşkusuz, bireylerin başlangıçtaki sayısı sıfır değilse doğrudur. Burada, zaman içinde gelişen ve farklı durumları bir sayıyla belirtilen bir sistemle karşı karşıyayız; herhangi bir anda, sistem sa­yısıyla gösterilebilirse, bu andan hemen önceki ve sonraki durumların p + ap’ye çok yakın sayılarla belirtilmesini sağlayacak bir a sayısı vardır. Başka bir deyişle ap, sistemin p durumundaki değişiminin anî hızıdır. Sistemin yerel değişimi, her p sayısına ap sayısını bağlayan tek gerçek değişkenli ve gerçek değerli fonksiyonla gösterilebilir. Bu fonksiyon, ap değerleri hız vektörleri biçiminde yorum­landığından, vektör alanı diye adlandırılır. Bu yerel betimle­meden sonra sıfır adı verilen belli bir andaki durumu bilmek ko­şuluyla, sistemin olabildiğince uzun bir zaman aralığındaki gelişimini belirleme problemi ortaya çıkar. Başka bir deyişle, bir t anına, x(0) bilinmek koşuluyla, x'(t) = ax(t) eşitliğini doğrulayacak x(t) sayısını bağlayan bir x fonksiyonu aranır. Bu durumda problemin çözümü x(0) başlangıç koşulu bilin­diğine göre, x = ax diferansiyel denklemi çözülerek elde edilir. Bu denklemin çözümleri olan fonksiyonlar (bunlara, denklemin integralleri adı verilir), sis­temin olası değişimlerini belirtir. Matematiksel yöntemler, x’= ax denkleminin integrallerinin, eat üslü sayısı ile x(0) başlangıç değerinin çarpımını t ’ye eşlik ettiren x fonksiyonları olduğunu göstermeye imkân verdi. Bir üslü sayı hiçbir zaman sıfır olamayacağına göre, x(t) ancak x(0) = 0 ise sıfır olabilir; yani, bu durumda, fonksiyon sürekli olarak sıfır kalır ve bu da, bir nüfus örneği düşünüldüğünde, tutar­lıdır.

Paylaşır mısınız?
Önceki İçerikGüneş ışığı nasıl depolanır
Sonraki İçerikTrafo Nedir Ne İşe Yarar
Elif Yaldız
Merhaba ben Elif Yaldız, bir süre Türkiye de Elektrik ve Elektronik Mühendisliği üzerine eğitim aldıktan sonra, hayat serüvenime yurt dışında Enerji Sistemleri Mühendisliği üzerine devam ettirmeye karar verdim. Burada sizlerle bilgi alış verişinde bulunmaktan memnuniyet duyuyorum.

Düşünceleriniz Nedir?