Diverjans Teoremi

1
7605
diverjans teoremi

Merhaba arkadaşlar bu yazımızda yüzey integrallerinden olan, diverjans teoremi ve konuyu daha iyi kavramanız için diverjans teoremi ispatını sizlere yaptım. Diverjans teoremi, ıraksama teoremi veya gauss teoremi olarak adlandırılır, bir A vektörünün normal bileşeninin kapalı bir yüzey üzerinde alınan integralinin, A nın ıraksamasının bu yüzey tarafından sınırlanan hacim üzerinde alınan integraline eşit olduğunu ifade eder.

A = A1i + A2j + A3k ve n = cosαi + cosβj + cosγk vektör gösterimiyle bu formüller

diverjans teoremi eştliği

olarak yazılabilir.

S, V hacimli bir bölgeyi sınırlayan kapalı bir yüzey olsun. Yüzeyin dışa doğru çizilen normali pozitif normal seçilsin ve α, β, γ, sırasıyla, bu normalin pozitif x, y, ve z eksenleriyle yaptığı açılar olsun. O zaman eğer A1, A2, A3 bölgede sürekli ve sürekli kısmı türevlere sahip ise

diverjans teoremi

diverjans teoremi formül

geçerli olur. Bu

diverjans teoremi formülü

olarak da yazılabilir.

Diverjans Teoremi İspatı

diverjans teoremi ispatı

S, koordinat eksenlerine paralel herhangi bir doğru tarafından en çok iki noktada kesilen kapalı bir yüzey olsun. Alt ve üst parçaları olan S1 ve S2 nin denklemleri, sırasıyla, z = f1(x,y) ve z = f2 (x,y) olsun. Yüzeyin xy düzlemi üzerindeki izdüşümü R ile gösteriniz.

diverjans teoremi denklemi

integralini düşünelim. S2 nin n2 normali k ile γ2 dar açısını yaptığından, S2 üst parçası için dydx = cosγ2dS2 = kn2dS2

S1 in n1 normali k ile γ1 geniş açısını oluşturduğundan, S1 alt parçası için dydx = -cosγ1dS1 = -kn1dS1 geçerlidir.

Bu taktirde,

diverjans teoremi denklemininve

koordinat düzlemiYani

koordinat düzlemi izdüşümü

Benzer şekilde, S nin diğer koordinat düzlemlerine izdüşümleri için

koordinat düzlemi izdüşümleri

bulunur.

(1), (2) ve (3) toplanarak

diverjans teoremi kanıt

bulunur.

Kısaca özetlemek gerekirse, diverjans teoremi herhangi bir vektör alanı A nın diverjansının, kapalı bir hacimdeki, hacim integralinin aynı vektör alanı A nın, o hacmini çevreleyen herhangi kapalı bir yüzey üzerindeki yüzey integraline eşit olduğunu söyleyen ve gauss teoremi veya ıraksama teoremi olarak da bilinen matematiksel eşitliktir.

Paylaşır mısınız?
Önceki İçerikYüzey İntegralleri
Sonraki İçerikGenel Görelilik Kuramı Nedir
Elif Yaldız
Merhaba ben Elif Yaldız, bir süre Türkiye de Elektrik ve Elektronik Mühendisliği üzerine eğitim aldıktan sonra, hayat serüvenime yurt dışında Enerji Sistemleri Mühendisliği üzerine devam ettirmeye karar verdim. Burada sizlerle bilgi alış verişinde bulunmaktan memnuniyet duyuyorum.

1 Yorum

  1. söylemek isterim ki çok güzel anlatmışsınız gerçekten faydalı olacak güzel bir şey yapıyorsunuz çok teşekkürler

Düşünceleriniz Nedir?