Gama Fonksiyonu ve Özellikleri

0
11556
gama fonksiyonu ve özellikleri

Bu yazımızda sizlere gama fonksiyonu ve özelliklerini anlatacağız. Bunun yanı sıra konuyu daha iyi kavraya bilmek için gama fonksiyonu ile ilgili çözümlü örnekler çözeceğiz. Γ(n) ile gösterilen Gama fonksiyonu.

gama fonksiyonu nedir
Eşitlik 1

ile tanımlanır ve n>0 için yakınsaktır.

Gama fonksiyonu için yenilenim formülü

Γ(n + 1) = n Γ(n)   (Eşitlik 2)

dir. Burada Γ(1) = 1 dir. 1 ≤ n < 2 için (veya birim uzunluklu herhangi bir aralık) değerleri bilindiği zaman (2) den Γ(n) tüm n>0 için belirlenebilir (aşağıdaki tabloya bakınız). Özel olarak, eğer n bir pozitif tamsayı ise, o zaman

Γ(n+1) = n!  n = 1, 2, 3 … (Eşitlik 3)

olur. Bu nedenle bazen Γ(n) faktöriyel fonksiyonu olarak adlandırılır.

Γ(2) = 1! = 1 , Γ(6) = 5! = 120

gama fonksiyon

gama fonksiyonu ve özellikleri
Eşitlik 4

olduğu gösterilebilir.

Eşitlik 2 yenilenim bağıntısı bir fark denklemi olup çözümü Eşitlik (1) dir. n > 0 için Eşitlik (1)’ i Γ(n) nin tanımı alarak ve Eşitlik (2) yi

gama fonksiyonu ne
Eşitlik 5

şeklinde kullanılarak gama fonksiyonunu n < 0 a genişletebiliriz.

Gama Fonksiyonunun Değerler Tablosu ve Grafiği

gama fonksiyonu değerleri

gama fonksiyonu şekli
Şekil 1

Γ(n) İçin Asimtotik Formül

Eğer n büyük ise Γ(n) nin hesaplamasındaki zorluklar belirgin olarak ortaya çıkar. Böyle bir durumda kullanışlı bir sonuç

asimtotik
Eşitlik 6

bağıntısıyla sağlanır. Pek çok pratik amaçlar için, n büyüdükçe 1’e yaklaşan son çarpan ihmal edilebilir. Eğer n bir tamsayı ise

gama fonksiyonu için asimtotik
Eşitlik 7

yazabiliriz. Burada ∼ nin anlamı “büyük n için yaklaşık olarak eşit” anlamını taşır. Bu bazen Stirling yaklaşık faktöriyeli veya n! için asimtotik formülü olarak adlandırılır.

Gamma Fonksiyonunu İçeren Çeşitli Sonuçlar

DSC_0406
Eşitlik 8

Özet olarak eğer x = 1/2, ise

gama fonksiyonu ve özellikleri

dir.

gama
Eşitlik 9

Bu, gama fonksiyonu için çoğaltma formülü olarak adlandırılır.

çoğaltma formülü
Eşitlik 10

Eşitlik (9) sonucu Eşitlik (10)’ un m = 2 için bir özel durumudur.

euler sabiti
Eşitlik 11
gaus
Eşitlik 12

Bu, gama fonksiyonu için bir sonsuz çarpan gösterimidir. γ sabiti Euler sabitidir.Burada ∏ (x, k) bazen Gauss ∏ fonksiyonu olarak adlandırılır.

stirling
Eşitlik 13

Bu seriye gama fonksiyonu için Stirling asimtotik serisi denir. Parantez içindeki seri bir asimtotik seridir.

euler sabit
Eşitlik 14

burada γ Euler sabitidir.

euler sabit
Eşitlik 15

Gama Fonksiyonu İle İlgili Çözümlü Örnekler

  1. (a) Γ(n+1) = n Γ(n), n > 0; olduğunu ispatlayınız.

Eğer n>0 ise;

gama fonksionu ile ilgili örnek

olur.

(b) Γ(n+1) = n!, n = 1, 2, 3 … olduğunu ispatlayınız.

gama fonsk

Γ(n+1) = nΓ(n) ‘de, n = 1, 2, 3 …koyunuz. O zaman

Γ(2) = 1Γ(1) = 1, Γ(3) = 2Γ(2) = 2.1 = 2!, Γ(4) = 3Γ(3) = 3.2! = 3!

Genel olarak, eğer n bir pozitif tamsayı ise Γ(n+1) = n! dir.

2.Aşağıdaki herbirinin değerini bulunuz.

çözümlü örnekler gama fonksiyonu

3. Aşağıdaki her bir integralin değerini hesaplayınız.

DSC_0417

4. gama fonksiyonu ve özellikleri ‘yi ispat ediniz.

gamma fonksiyonun

x = ualınırsa bu integral

gamma fonksiyonu ve

haline gelir.

5. (a) Γ(-1/2) değerini bulunuz.

asımtotık

bulunur.

(b) Γ(-5/2) değerini bulunuz.

gamma fonksiyonu ve değeri

Paylaşır mısınız?
Önceki İçerikSürücüsüz Otomobil Nedir
Sonraki İçerikHidrojen Enerjisi Nedir ve Kullanım Alanları
Elif Yaldız
Merhaba ben Elif Yaldız, bir süre Türkiye de Elektrik ve Elektronik Mühendisliği üzerine eğitim aldıktan sonra, hayat serüvenime yurt dışında Enerji Sistemleri Mühendisliği üzerine devam ettirmeye karar verdim. Burada sizlerle bilgi alış verişinde bulunmaktan memnuniyet duyuyorum.

Düşünceleriniz Nedir?