Yüzey İntegralleri

1
1135
yüzey integralleri

Merhaba arkadaşlar bu yazımızda sizlere yüzey integralleri ve konuyu daha iyi kavramanız için yüzey integralleri ile ilgili örnek çözeceğim. S yandaki Şekil 1’de görüldüğü gibi xy düzleminde R dik izdüşümüne sahip iki yanlı bir yüzey olsun. f  R deki her x ve y için tek değerli ve sürekli olmak üzere S için bir denklem z =(x,y) olsun. R yi ΔAp, p=1,2,…,n  alanına sahip n alt bölgeye ayırınız ve bu alt bölgelerin her biri üzerinde S yi ΔSp alanıyla kesen düşey kolonlar dikiniz.

yüzey integralleri
Şekil 1

Φ(x, y, z)  S’nin tüm noktalarında tek değerli ve sürekli olsun. (ξp, ηp, ℑp) ΔSp’nin bir noktası olmak üzere

yüzey integralleri formülü
eşitlik 1

toplamını oluşturunuz. Eğer bu toplamın n––>∞ iken her bir ΔSp––>0 olacak şekilde bir limiti varsa, limitin değeri Φ(x, y, z) nin S üzerinde yüzey integralleri olarak adlandırılır ve

yüzey integralleri formülleri
eşitlik 2

ile gösterilir.

γp S’nin normaliyle pozitif z ekseni arasındaki açı olmak üzere yaklaşık olarak ΔS= lsecγpl olduğundan, (eşitlik 1) toplamının limiti

toplamın limiti
eşitlik 3

yazılabilir. lsecγpl büyüklüğü

yüzey integralleri büyüklüğü
eşitlik 4

ile verilir. Bu taktirde, R de z = f(x, y) sürekli(veya parçalı sürekli) türevlere sahip kabul edilerek (eşitlik 3) dik koordinatlarda

dik koordinatlarda
eşitlik 5

şeklinde yazılabilir.

S için denklemin F(x, y, z) = 0 olarak verilmesi halinde,

dik koordinatlarda yüzey integralleri
eşitlik 6

olur. (eşitlik 5) veya (eşitlik 6) sonucu (eşitlik 2) ‘in değerini bulmak için kullanılabilir.

Yukarıda S’yi z eksenine paralel bir doğruyla sadece bir noktada kesişiyor kabul ettik. S’nin böyle olmaması halinde, çoğunlukla S’yi bu tipteki S1, S2,…, yüzeylerine böleriz. O zaman S üzerinde yüzey integralleri S1, S2,…, üzerinde yüzey integrallerinin toplamı olarak tanımlanır.

Yukarıda ifade edilen sonuçlar S xy düzleminin bir R bölgesine izdüşürüldüğü zaman geçerlidir. Bazı hallerde S’nin yz veya xz düzlemlerine izdüşürülmesi daha iyidir. Böyle hallerde (eşitlik 2) ifadesi, (eşitlik 5) ve (eşitlik 6) uygun şekilde değiştirilerek hesaplanabilir.

Yüzey İntegralleri İle İlgi Örnek

a yarıçaplı bir yarı küre çapı 0 olan bir silindir tarafından kesilmiştir(oyulmuştur). Oluşan yüzeyin alanını bulunuz.

yüzey integralleri örnek
şekil 2

Yarıkürenin ve silindirin(şekil 2) denklemleri sırasıyla X2 + y2 + z2 = a2 (veya z = (a2 – x2 – y2)1/2) ve (x – a/2)2 + y2 = a2/4 (veya x2 + y2 = ax) tir.

yüzey integralleri örnek formül

 

 

olduğundan istenilen alan;

yüzey integralleri örnek formülü

olarak bulunur. İntegralin hesaplanması için iki metodun uygulanması mümkündür.

1.metod: Kutupsal koordinatların kullanılması x2 + y2 = ax kutupsal koordinatlarda ρ=acosΦ

olduğundan, integral

kutupsal koordinatlar

şekline gelir.

2.metod: İntegral

integral alımı

‘ ye eşittir x = atan2Θ denirse, bu integral

integral alımları

haline gelir. Size bugün yüzey integralleri anlattım. Bu konumuzun devamı olan stokes teoremi ve diverjans teoremi yazılarımızda görüşmek üzere.

Paylaşır mısınız?
Önceki İçerikStokes Teoremi Nedir
Sonraki İçerikDiverjans Teoremi
Oğuzhan Mallı
Merhaba Ben Oğuzhan Mallı Mühendis Beyinler sitesinin editörüyüm, Bir süre Karadeniz Teknik Üniversitesinde Elektrik ve Elektronik mühendisliği okuduktan sonra, yurtdışında eğitimime devam etmekteyim. Advanced seviyesinde İngilizce ve Rusça bilmekteyim. Yazılarımda yaptıklarımla, düşüncelerimle ilgili pek çok şey bulabilirsiniz. Yorumlarınız, düşünce ve tavsiyeleriniz benim için çok önemli. Yalnızca “Merhaba, buralardaydım.” demek için dahi olsa vakit ayırıp bıraktığınız her bir yorum için çok teşekkür ederim. Bütün yorumlara cevap vermeye çalışıyorum.

1 Yorum

  1. Yayımlarınızı zaman zaman takip etmeye çalışıyorum başarılı ve yararlıdiye değerlendiriyor başaarılarınızın veçaşışmalarınızın devamını dilerim. Mehmet Safa KIRICI.
    (Makina Y.Müh.)
    9/10/2015

Düşünceleriniz Nedir?