Bu yazımızda sizlere diferansiyel denklemler nedir konusunu anlatacağız. Diferansiyel denklemler, en basit biçimiyle, bir x(t) fonksiyonu, bunun x'(t) türevi ve t değişkeni arasında bir bağıntı olarak tanımlanabilir. Bu üç büyüklüğün söz konusu olduğu bir eşitlik olarak ortaya çıkar. Böyle bir denklemi çözmek, en iyi durumda, t’nin her değeri için denklemin doğrulanacağı x(t) fonksiyonunu bulmaktır. Somut bir gösterimde, t zaman olarak alındığında x(t), noktanın izlediği yol ve x'(t) hızıdır ve diferansiyel denklem, konum ve hız arasında her an var olan bağıntıyı belirtir; bu denklemi çözmek, buna uyan bir hareketi betimlemek anlamına gelir.
Diferansiyel denklemler, birçok fonksiyonun söz konusu olduğu birçok, bağıntı göz önüne alınarak, daha genel şekilde tanımlanabilir: böyle bir tanım yapılması halinde bir diferansiyel sistem ortaya çıkar. Öte yandan, söz konusu fonksiyonun birinci türevinden başka, daha yüksek basamaktan türevleri de söz konusu olabilir.
Diferansiyel denklemlerin genel çözümü, matematiğin en zor problemlerinden biridir. Bu denklemlerin, tiplerine göre sınıflandırılması yoluna gidildi, ilk sınıflandırma öğesi, kullanılan türevlerin derecesidir: birinci ve ikinci türevlerin kullanıldığı bir diferansiyel denklem ikinci derecedendir. İkinci sınıflandırma öğesi, cebirsel biçimdir; nitekim, doğrusal, ikilenik vb denklemler vardır.
Bir diferansiyel denklemi çözmek i- çin, denklem, çözümü bilinen, ama bilinen fonksiyonlar arasında çözümler bulunduğundan emin olunmayan bir sınıfa yerleştirilir. Yapılan bu işlem bazen yeni fonksiyonların oluşturulmasına yol açabilir; mesela üslü fonksiyon,
denkleminin çözümü olarak tanımlanmıştır. Diğer yandan, çözümün biçimi yalnız denklem tipini inceleyerek anlaşılamaz; nitekim,
denkleminin k’nın değerlerine göre farklı çözümleri vardır; k ’nın bazı değerleri için, çözüm, dönemsel bir fonksiyondur; armonik salınım üreteçleri buna iyi bir örnektir.
Daima n’inci dereceden bir denklem, birinci dereceden n denklemli bir sisteme eşdeğer hale getirilebilir. Bu durumda denklem mekanik modelden esinlenerek bir vektör alanı olarak yorumlanabilir; bu alanın her P noktası fazlar uzayında gelişimini sürdüren soyut bir sistemin bir durumunu temsil eder. Bu noktaya eşlik eden vektör, sistemin gelişiminin anî hızını belirtir. Bu hızın sıfıra indiği nokta, tekil nokta adını alır; bu noktanın özel bir rolü vardır; çünkü tek başına, denklemin çözümünü verir.
Denklemin çözümüne integral çizgisi denir ve bu soyut P noktasının izlediği yol (yörünge) olarak yorumlanabilir. Bazen, integral çizgiler, yaklaşıklık yöntemleriyle belirlenebilir.
Üslü Fonksiyonun Bulunmasını Sağlayan Bu (x’ = ax) Diferansiyel Denklemler
Bir topluluğun nüfusunu göz önüne alalım. Bireylerin sayısının değişim oranı ve bu oranın zaman içinde değişmediği biliniyorsa, bu sayının ne şekilde değişeceği öngörülebilir. Bu oran küçük olsa bile, pozitif olduğu andan itibaren, nüfus daha hızlı artacaktır. Bu sonuç kuşkusuz, bireylerin başlangıçtaki sayısı sıfır değilse doğrudur. Burada, zaman içinde gelişen ve farklı durumları bir sayıyla belirtilen bir sistemle karşı karşıyayız; herhangi bir anda, sistem sayısıyla gösterilebilirse, bu andan hemen önceki ve sonraki durumların p + ap’ye çok yakın sayılarla belirtilmesini sağlayacak bir a sayısı vardır. Başka bir deyişle ap, sistemin p durumundaki değişiminin anî hızıdır. Sistemin yerel değişimi, her p sayısına ap sayısını bağlayan tek gerçek değişkenli ve gerçek değerli fonksiyonla gösterilebilir. Bu fonksiyon, ap değerleri hız vektörleri biçiminde yorumlandığından, vektör alanı diye adlandırılır. Bu yerel betimlemeden sonra sıfır adı verilen belli bir andaki durumu bilmek koşuluyla, sistemin olabildiğince uzun bir zaman aralığındaki gelişimini belirleme problemi ortaya çıkar. Başka bir deyişle, bir t anına, x(0) bilinmek koşuluyla, x'(t) = ax(t) eşitliğini doğrulayacak x(t) sayısını bağlayan bir x fonksiyonu aranır. Bu durumda problemin çözümü x(0) başlangıç koşulu bilindiğine göre, x = ax diferansiyel denklemi çözülerek elde edilir. Bu denklemin çözümleri olan fonksiyonlar (bunlara, denklemin integralleri adı verilir), sistemin olası değişimlerini belirtir. Matematiksel yöntemler, x’= ax denkleminin integrallerinin, eat üslü sayısı ile x(0) başlangıç değerinin çarpımını t ’ye eşlik ettiren x fonksiyonları olduğunu göstermeye imkân verdi. Bir üslü sayı hiçbir zaman sıfır olamayacağına göre, x(t) ancak x(0) = 0 ise sıfır olabilir; yani, bu durumda, fonksiyon sürekli olarak sıfır kalır ve bu da, bir nüfus örneği düşünüldüğünde, tutarlıdır.