0 Faktöriyel Neden 1’dir

60127

0!=1 mi? Neden? Çocukluktan beri öğretilen 0!=1 olduğu kanısının nereden geldiğini merak etmişsinizdir. Faktöriyel konusunun önemli bir parçasını oluşturan bu ince kuralı inceleyelim.

Matematikçiler ve öğrenciler için faktöriyel konusu çok farklı yollarla hesaplanmaktadır. İkisi de doğru fakat öğrencilerin yaptığı hareketler ya da işlemler daha kısa ve zaman açısından basit hale getirmektedir.

n! = n. (n-1) . (n-2) . ….. .. … . 1

şeklinde hesaplanmaktadır. Yani genel olarak da ” Bir sayıdan 1 eksilterek çarpılması durumuna faktöriyel denilmektedir. ” Peki yukarıda ki formülü direkt kullanarak 0!’i bulabilir misiniz? Yani normal bir mantık çerçevesinde,

0! = 0. ( 0-1 ) . (0-2)…….?

şeklinde tanıma uymayan bir matematiksel hal ile karşılarız. Bu hata ise asıl faktöriyel kavramının amacından çıkmasından yani daha iyi yorumlaması için düzenlenen tanımından kaynaklanmaktadır.

Peki faktöriyel kavramının asıl tanımı nasıl? Bu kavram ilk olarak 18 yy. Fransız matematikçi Louis Arbogast tarafından ilk temelleri atılmış, daha sonraları De Moivre, Euler ve Christian Kramp tarafından da ele alınmıştır. İlk tanım şu şekildeydi;

faktöriyel

şeklinde tanımlanmıştı. Bakın burada hemen, 0! ifadesini bulabiliriz. Bunun için 1!’in kaç olduğunu bulmamız gerekiyor. İlk tanıma göre,

5!= 5.4.3.2.1= 120 olduğundan,

4 faktöriyel

olacaktır. Burada hemen 1!=1 olduğunu gördük, gelelim 0! meselesine. Aynı biçimde,

0 faktöriyel olacaktır. İşte 0!=1 durumu buradan gelmektedir. Eskiden her zaman karıştırdığımız bir durum aslında matematiği ezberlemenin, altyapısının ne olduğunu sezememekten kaynaklanmaktır. Aslında bu araştırmayı burada bitirmek gerekiyordu fakat şunlardan da bahsedelim. Neden -1!, -2! ya da negatif faktöriyel ifadesi yok. Hemen aynı fikirden hesaplama yapalım,

-1 faktöriyel

olacağından ve 0! = 1 olduğunu da bildiğimizden

-1 faktöriyel

olacağından bu bize bir tanımsızlık verecektir. Aynı biçimde -1! tanımlanamadığı için bir zincir misali diğer negatif faktöriyeller de bulunamayacaktır. Harika…

Referans

  1.  numberphile/youtube
Yazımızı Beğendiniz mi?
Önceki İçerikOtomobil Sektörünün Sorunları Nelerdir
Sonraki İçerikSchrödinger’in Kedisini Kim Öldürdü
Mushab Bedirhan Andız

Matematiğin eşsiz dünyasında kaybolmuş araştırma ve çalışmaktan büyük bir keyif alan, matematiksiz her saniyenin kendisi için kayıp bir an olduğunu düşünen matematik çalışamadığı günlerin telafisini ağlayarak affettirmeye çalışan, içindeki bu heyecanı, aşkı, tutkuyu dindirmek için yazmak zorunda kalan matematikçi…

16 Yorum

  1. Ali nesinin anlatışı aklıma yatmıştı aslında. 1!=(1 den başlayarak 1 sayının çarpımı) 5!=(1den başlayarak 5 sayının çarpımı) 0! İse yine 1’den başlayarak 0 sayının çarpımıdır diyordu yani hiç bir sayıyı çarpmamış olur dolayısıyla çarpmanın etkisiz elemanı 1 olduğu için de hiç bir sayının çarpılmaması 1i verir gibisinden anlatıyordu.

  2. Okul hayatımda matematik hep zor ve gerçekçi olmayan gereksiz olduğu fikri daha doğrusu bahanesi ile kaçtığım, bu duruma eğitim sisteminin de payı olduğu hepimizce malum bir derstir. Şimdi ise bence bütün bilimlerin ana rahmi gibi önemli, güzel ve son derece zevkli bir ders olduğunun farkına vardım. Ancak şu an matematiği hobi olsun deyi öğrenmek istesem bile sağlıklı bir kaynak bulamıyorum. İnternetten bile sınav baskısı ve rantı ile şekillendirilen altını çizerek söylüyorum NESNELLEŞTİRİLME ile alakası olmayan matematikler ile karşılaşıyorum. Bana modern matematiği modern yapan detayı tarihi ile birlikte ve gerçek hayattan modellemeler yapacağımız baskıdan kurtulmuş bir matematik lazım. Bunu nerde bulabilirim.

    • Akademik çalışmak gerek. Aslında sizin istediğiniz matematik doktora seviyesi matematiktir. Yaş kaç bilmiyorum ama temelden başlayarak güzel adımlar atabilirsiniz. İngilizce ise size bu yolda can dostu olacak….

  3. Ne yazık ki ispatlar iki farklı kabulleniş üzerinden yapılamazlar. n!=(n+1)!/(n+1) şeklinde tanımladıktan sonra bunu bir ispata götürmek için n!=(n)*(n-1)*…1 kabullenişini kullanıyorsunuz (bkz: 5!=5*4*3*2*1 denilmiş).
    Siz burada 0! in 1 olduğu kabulleniminden yola çıkan bir kabullenişle 0!=1 diyorsunuz.

    5!=5*4*3*2*1*0! dir aslında o. 0! de 1 olarak kabullenildiği için oraya hiç yazılmaz. Bu nedenle buradaki yazı bir ispat değil aksine “o bilinmezliği kabul ederek yine o bilinmezliğe ulaşmak”tır.

    • Bu bir kabul değildir zaten. Gama fonksiyonu için belli noktadan sonsuza giden integral değeri ile hesaplanır. Gama fonksiyonundan 0!=1 eşitliğinin lemmasıdır. Yani yukarıda yazılan bir ispat niteliği taşıyacak lemması ise Gama fonksiyonuna dayandırılacaktır. zero-factorial.com/whatis.html adresten ki bu site yanlızca 0! için açılmış prof hocamızın sitesidir. Burada kabul olmadığını daha net göreceksinizdir. Özellikle bir de Youtube da “numberphile” adında kanaldan bununla alakalı videoyu izlemenizi öneririm.

      İyi Çalışmalar

      • Sanırım anlatmak istediğimi anlatamadım. Yazınızın başlığı “0 Faktöriyel Neden 1’dir” dir. Yani başlıktan anlaşılan şey 0! in neden 1 olduğunuzu açıklayacağınızdır. Siz burada 0! ‘i 1 kabul eden başka bir kabulden yola çıkarak ispat yapmaya çalışıyorsunuz. Bir örnek vermem gerekirse;
        __________
        a neden 5’tir?

        5a=25, a+b=8 ve ab=15
        şeklinde 3 denklemimiz olsun (Görüldüğü gibi denklemler birbirini desteklemektedir).

        a+b denklemini 5 ile çarpalım:

        5a+5b=40 olur. 5a=25 verilmiş bize.
        25+5b=40 olur ve b buradan 3 gelir.

        b=3 ise ab=15’de b yerine 3 yazalım:

        3a=15 dir. O halde a=5’dir.
        __________

        Buraya baktığınızda 5a=25 tanımında zaten anın 5 olduğu kabulüne göre denklemler çözülmüş ve sonunda yine (elbette) a=5 bulunmuştur. Yani aslında matematiksel olarak bir çözüm yapılmamış aynı kabullenişten türeyen farklı denklemler birbiri cinsinden yazılıp baştaki kabullenişe ulaşılmıştır.

        Sizin de bu yazıda yaptığınız malesef budur. 0! neden 1’dir diye başlık koymuşsunuz ancak 0!in 1 olduğunu en başta 0!i zaten 1 kabul eden bir kabullenişten yola çıkarak ispatlamaya çalışıyorsunuz.

        Bahsettiğiniz gama fonksiyonlu yazınız 0!in neden 1 olduğunu açıklıyor evet ancak burada ben bu yazınıza yorum yapıyorum.

        Umarım anlatabilmişimdir.
        İyi günler.

        • Merhaba anladım şimdi… Ama ben 0!=1’i kabul etmedim. Aslında bunu açıklayacak bir yazı daha net ifade eden bir yazı yazacağım… Ellerinize sağlık

          • Tekrar merhaba,

            “5!= 5.4.3.2.1= 120 olduğundan,…” şeklinde çözümünüze başlıyorsunuz ancak faktoriyelin bu şekilde gösterimi 0!i 1 kabul eden gösterimidir.

            5!=5.4.3.2.1.0! dir asıl şekli ve 0!=1 kabul edildiği için oraya yazılmamıştır. Bu nedenle aslında çözümünüz 0!i 1 kabul ederek başlıyor.

            iyi günler.

    • ali can haklıdır.
      Eğer n! = n*(n-1)*(n-2)*…*1 olarak varsayılayacaksa 0! = 1 ‘i bu varsayımı kabul ederek kanıtlamak gerekir. Diğer durumda n! = (n+1)! / (n+1) olarak varsayılacaksa bu varsayım kabul edilerek 0! = 1 gösterilmelidir. Sonuç olarak şurdan bunu alayım burdan şunu alıp kanıt yapayım gibi bir durum var ortada. Matematiksel herhangi bir şey yok.

      Hayırlı günler.

      • Gördüğünüz üzere ilk tanım verilmiştir. Yani ordan aldım şurdan aldım durumu yoktur olamaz da zaten. Biz n! ifadesinin tanımını verip 0!=1 ifadesini kanıtladık. Aslında daha iyi bakarsanız
        n!=n*n-1*n-2* …. ifadesininin diğer tanım ile eşdeğer olduğunu sezersiniz. Matematiksel herhangi birşeyin olup olmaması gibi bir yorum için ise teşekkür ediyorum.

  4. Her karşıma çıktığında merak ettiğim ama dürüst olmak gerekirse araştırmadığım bir konuydu.Çok teşekkürler:))

  5. Bu olayı gama fonksiyonu üzerinden anlatsaydınız daha detaylı ve net bir bilgi olurdu diye düşünüyorum. Teşekkürler.

    • Gama fonksiyonu ağır olacaktır. 0! konusunu en basit ve anlamlı anlatmak bu şekilde olacağı düşüncesi içindeyim lakin Gama fonksiyonu isterseniz matematiksel.org/12√π2-mi/ sitesindeki yazıma göz atabilirsiniz. Gama fonksiyonu ile de haklı olduğunuz üzere çok güzel anlatılabilirdi…
      Sevgiler

  6. Merak edip sorduğumuzda bunu bilin yeter denilmişti zamanında. Gerçi biz de araştırmadık.
    Matematik adına paylaşımlarınız muazzam derecede merak giderici. Teşekkür ederim. İyi çalışmalar.

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.