Olasılık Kuramı ve Sonsuz Deneyler

Olasılık kuramında belli başlı, herkesin bildiği temel çekim aksiyomları vardır. Belki komik gelebilir ama bir kaç soru üzerinden birkaç şey bahsedelim. Elinizde bir torba var içinde 100 tane doğal sayı var. İyice karıştıralım iyice. İçinden herhangi bir sayı seçme olasılığımız kaçtır? Yanıt çok basit 1/100. Bu örnek sadece başlangıç öncesi bir örnekti. Bir sınıfa girdiniz ya da bir topluluğun içindesiniz. En az 30 kişilik bir grup olsun. Sorumuz şu; Bulunduğunuz ortamda bir kişinin en uğurlu sayısının herhangi bir rakam olma olasılığı  kaçtır? ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 sayıları içinden ) Normal şartlarda olasılık hesabına göre her öğrencinin bu sayılardan birini seçme olasılığı 1/9 dur. Çünkü her sayının çekilme olasılığı eşittir. Fakat sizden denemenizi beklerim ki kalabalık gruplarda 7 sayısının tutulma olasılığı daha çoktur. Nasıl yani demeyin bazı etkenler 7 sayısını daha cazip hale getiriyor. Dolasıyla yoğunluk dediğimiz kavram ortaya çıkıyor yani 7 sayısının çekilme yoğunluğu daha fazladır. Milli piyango biletlerinde genellikle alınmayan bilet “123456789” numaralı bilettir. Fakat tüm biletlerin çıkma olasılığı eşittir. Şimdi biraz daha farklı bir soru üzerinde düşünelim.

0,1,2,3,4,… sonsuz sayıda sayılarımız olsun. Bu sayıları bir torbaya atalım. İyice karıştıralım sayımız çok olduğu için karıştırmayı uzun süre yapalım. Şimdi elimizi daldırıp bir sayı seçelim. 50, 204, 1023213218 sayılarının çekilme olasılığı aynı değil mi? Evet cevabınız doğru olacaktır fakat  çekme olasılığı 0’dır. Evet 0… Bunun ispatı için sayının çekilme yoğunluğuna a diyelim. İlk 1000 sayının çekilme olasılığı 1000a ve ilk 1.000.000.000 sayının çekilme olasılığı aynı mantık ile 1.000.000.000a dır. Tüm olasılıklar en fazla 1 olacağından a.n ifadesi en fazla 1 olacaktır. a ifadesi sıfırdan büyük olursa a.n ifadesi 1 den büyük olacağından tüm olasılıkların 1 olması ile çelişeceğinden a=0 olmalıdır. Burada kanıtladığımız şey her sayının çekilme olasılığı aynı ise sonsuz sayı arasından herhangi bir sayı çekilme olasılığının 0 olduğudur. Limit ile ilgilenen okurun daha ileri düşünceye dalacağından eminiz.

Bir K kümesi tanımlayalım. K kümesi sonlu bir küme olsun. Seçilen bir sayının K kümesinde olma olasılığı nedir? Yine mi 0 dır? K kümesi çift sayılar kümesi olsun. Rastgele seçilen bir sayının K kümesinde olma olasılığı 1/2’dir. Dolayısıyla K kümesi, sezgisel olarak da bize sonsuz bir kümenin içinden sonsuz seçim aksiyomunu uygulama imkanı verdi.

Murphy Kanunları adı altında toplanan, birçok kişi tarafından kabul gören bazı olasılıklar vardır. Otobüs bekleyen birinin otobüse binme olasılığı, sigara yakarken ki bir kişinin otobüse binme olasılığının daha düşük olasılığa sahip olduğunu söyler. Bu olasılık genel itibari ile geçerliliğini korumaktadır. Bir şeyi ne kadar çok istersek isteyelim isteme olasılığımız gerçekleşme olasılığımız ile hep ters orantılıdır. Ya da bir şeyi ne kadar kurcalarsak o şey daha çabuk bozulması, bir şeyi anlamıyorsanız bu sizin için doğrudur,  birisine “masa boyalı dokunma” demenize rağmen o kişi size inanmayıp yine dokunacaktır. Bunlar teorik olasılıklarla açıklanamayan sonuçlardır.

(0,1) arasında 1/4’ ü seçme olasılığınız nedir? Yine 0’dır. İçinizden belki “ 1/4 ORDA HEMEN SEÇERİM NE VAR Kİ” diyebilirsiniz fakat 0 – 1 arasında sonsuz rasyonel sayı olduğu için seçme olasılığınız yoktur. Ama dikkat etmeniz gereken şey “rastgele” seçemezsiniz. Yani rastgele 1/4 seçme imkanımız yok.

Sonlu olasılık kuramıyla ilgili ise bir sonraki yazıda zar ve para deneyleri ile ilgili bazı önemli ölçümler yapıp “yoğunluk fonksiyonu” oluşturacağız. 500 KERE zarı atıp zarda en çok sayının gelme yoğunluğu ile ilgili tartışacağız. Matematik ile kalmanız dileğimle….