Asal Sayılar

18
8
asal sayılar

Asal sayılar denildiği zaman hemen hemen herkesin kafasında bir tanım oluşmuştur. Bu yüzden asal sayılar için şu bu gibi tanım yapmak istemiyorum. Bu yazıda biraz daha derinlere dalmak istiyorum. Asal sayılar eskilerden beri sadece matematikçilerin değil tüm insanların ilgisini çekmiştir ki bu sadece bilim ile uğraşan insanlardır. Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için herhangi bir formül yoktur. Bu formül dediğimiz denklem biçiminde matematiksel bir terimden başka bir şey değildir.

asal sayılar

Asal sayıları hesaplamak için kullanılan bilgisayarlar artık ilgi ve alakadan bıkmış olması gerek ki bazı bilgisayarlar maalesef hesaplama sırasında bazı hatalar ve çöküşlere maruz kalmaktadır. Bu sayılar için 300 basamaklı olarak hesapladığım bir asal sayıyı sizlere vereyim.

303956878386401977405765866929034577458793993314348263094772646453283062722701277632936616063144088173312372882677123879538709400158306567338328279154499698366071906766440037074217117805690872792848149112022286332144876183376326512083574821647933992961249917319836219304274280243803104015000563790123

Asal sayıların tarihi matematiğin tarihi kadar eskidir. Meşhur Keops Piramidinin incelenmesi sırasında bazı bulgulara rastlanması piramitlerin de inşa edildiği yılların göz önüne alınmasıyla geçmişinin köklü olduğu bilmekteyiz. Asal sayılar genelde herkes tarafından bilinen Öklid’in Elementler kitabında da bulacağınız “ Asal sayılar sonsuzdur” ibaresinin ispatını olmayana ergi yöntemi ile vermiştir. Bu ispatı vermek istemesem de okuyucunun konu hakkında daha derin düşüncelere sahip olmasını sağlamak için ön koşul olarak verelim.

asal sayılar

Kanıt: Matematikte kullanılan ispat yöntemlerinden olmayana ergi yöntemiyle sonuca ulaşmaya çalışalım. Diyelim ki asal sayılar sonlu olsun. Bu sonlu asal sayı dizisinde n tane eleman olduğunu farz edelim. Bu sayıların hepsi sırasıyla;

P1 , P2 , P3 … Pn olsun. Bu durumda P1 = 2 , P2 = 3 , P3= 5 … olur.
Şimdi tüm asal sayıları çarpıp, bu çarpıma 1 ekleyelim. Oluşan sayıya A diyelim;

A = (P1 .P2 . P3 … Pn ) + 1

Varsayımımıza göre; A asal olamaz, çünkü A, tanımladığımız tüm asal sayıların içinde yok ve tanımladığımız bu asal sayıların hepsinden büyük. Bu yüzden, A asal olmadığına göre; A’nın kendisinden ve 1’den başka bir sayıya, dolayısıyla bir asal sayıya bölünmesi gerekir. Bu durumda A’nın P1 , P2 , P3 … Pn sayılarından en az birine bölünmesi gerekir. Ama eşitlikte gördüğümüz üzere; A bu sayıların hiçbiri ile tam bölünmez, her seferinde 1 kalanını verir. O halde, A sayısının bu asallardan farklı bir asal böleni vardır. Bütün asal sayıları yazdığımızı varsaydığımız için A’nın bölünebileceği başka bir asal sayı mevcut değildir. Bu durumda A asaldır.

asal sayılar ve delilik

Sonuç olarak; varsayımımıza göre A asal olamaz, çünkü yazdığımız tüm asal sayıların hepsinden büyük. Ama A, bu yazdığımız asal sayılara bölünmediği için asal olmak zorundadır. Burada bir çelişki vardır. Bu yüzden varsayımımızın yanlış olduğu ortaya çıkar. Varsayımımızın söylediğinin aksine; asal sayılar sonlu değil sonsuzdur.

Bu kanıt matematikte en güzel ispatlar adlı bir kitap olsa ya da sıralama yapılsa ilk 5’e aday gösterilebilir. Ama matematikte en güzel ispat nedir sorusu biraz muallakta! Asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu 17. yy bizlerin hayali olan adam L. Euler – bu matematikçi için çok özel bir bölüm vardır – yakınsak ve ıraksak dizileri kullanarak müthiş bir kanıtını vermiştir. Asal sayıların sonsuz olduğu anlaşıldıktan sonra bazı matematikçilerin asal sayılar üzerinde çalışmaları hiç hız kesmemiştir. Bunlardan bence en önemlileri Pierre de Fermat’ın ortaya attığı 22n+1 şeklindeki sayıların herhangi bir “n” doğal sayısı için bir asal sayı verdiğini söylemiştir ki bu ilk 4 için sağlanmıştır ve matematik dünyasında bu 5 yıl kadar kabul görmüştür, Euler asal sayılar ile ilgili kitabını yazarken yaptığı çalışmalar sonucunda Fermat asallarının ilk dört sayıdan sonra hiçbir sayı için sağlanmadığını ispatlamıştır.

asal sayılar ve gizemi

Bir öneri olarak insanlar bu sayılara hala Fermat asalları diye hitap etmesine rağmen bu sayılar asal olmaktan çıkmıştır. Yine 17. Yüzyılda Fransız rahip Marin Mersenne de p asal sayı olmak üzere 2p – 1 şeklindeki sayıları inceledi. Bu sayılardan önemli bir kısmı asal çıkıyordu. Asal sayıların bir formülünü bulmada önemli bir adım olduğu için bu sayılara Mersenne sayıları adı verildi. Asal olanlarına da doğal olarak Mersenne asal sayıları dendi.

Mersenne yaptığı çalışmalar ile acaba asal sayıları üreten bir formül olup olmadığını basit cebirsel denklemler üreterek denemelerde bulunmasına karşın bir sonuç üretememiştir. Günümüzde yapılan son çalışmalarda asal sayıların bir polinom denklemleri ile de üretilmeyeceği çıkmıştır. Asal sayılar hakkında daha çarpıcı bilgiler de elimizde yok değil. Bazı matematikçilerin sonsuzu düşünmesi ve sürekli bu alandan uğraş yapması özellikle 16, 17, 18 yy bazı matematikçilerin ruhsal problemler ile uğraşmasına neden olmuştur.

Bilgisayar bilimcilerin vazgeçemediği sayıları genellikle şifre bilimi ile uğraşanların da ortak uğraş verdiği bir alandır. Ayrıca Türk matematikçi değerli hocam Prof. Cem Yıldırım hocam bu konu ile ilgili yaptığı çalışmalar ile büyük bir ödülün de sahibi olmuştur. Ayrıca Clay Matematik Enstitüsünde bulunan bilgisayarlar ile bilinen en büyük asal sayı bulunmaya çalışılmaktadır. ABD’li matematikçi Cooper tarafından 22 milyon 338 bin 618 basamaktan oluşan yeni asal sayıyı, 31 gün aralıksız süren çalışmalar sonucu hesapladı. Central Missouri Üniversitesi Öğretim Üyesi Prof. Dr. Curtis Cooper liderliğinde yapılan çalışmada, 2 rakamının kendisiyle 74 milyon 207 bin 281 kere çarpılıp 1 eksiltilerek, “en büyük asal sayının” keşfedildiği bildirildi. En büyük Mersenne asallarının bulunması için örgütlenen “Great Internet Mersenne Prime Search” (GIMPS) projesi kapsamında hesaplanan asal sayının, 2013 yılında keşfedilen 17 milyon basamaklı sayıdan 5 milyon basamak uzun olduğu kaydedildi. Ayrıca bu sayı kağıda yazıldığında 109 km uzunluğundaymış büyüleyici!

18 Yorum

  1. Merhaba .
    Oluşturulan yüksek haneli bir sayının çarpanlarını bölme işlemi yapmadan bilmek dikkat çeken bir konumudur?

  2. exp(0,5-+35)
    961965785544776
    2614894114445696
    Prime numbers: 47119213510151
    Twin primes: 1773579320354
    Prime triplets: 218927871714
    Prime quadruplets: 4532853622
    Prime quintuplets: 630952588
    Prime sextuplets: 15365210

    Elapsed time: 2330556.63 sec yaklaşık 27 gün

    tahmini asal adedi:int[1652928328900920/35,120114506958277240060569955197]=47065003975810
    sapma:(47065003975810-47119213510151)/47065003975810=~=%-0,12=binde eksi 1,2

    tahmini dördüz asal adedi:
    int[(25/6)(1652928328900920/(35,120114506958277240060569955197)^4)]=4527089579
    sapma:(4527089579-4532853622)/4527089579=~=-0,0013=binde eksi 1,3

    sapma negatif: alt sınır gösteren hesap olarak çok anlamlıdır.
    tahmini hesaptan daha az adette dördüz asal olmaması garanti altında!
    yarı iletken ilkel işlemcilerle insanlar 25 haneli sayılara kadar asal adetlerini hesaplamış.
    exp(57-+0,5) ve exp(58-+0,5) civarına denk geliyor.
    insanlar nedense, bu hesabı yaparken dördüz asal adetlerine bakmayı akıl edememiş!
    halogramla exp(11bin -+ 0,5) kadar bakılsa sapma hep negatif!
    exp(sonsuza yaklaşan tamsayılar -+ 0,5) için hep negatif mi? ben henüz bilmiyorum.
    matematikçilerin bunu en genel halde bilmesi mümkünmüş, her şeyin yazıldığı kitapta dördüz asal adedi tahmini hesabın sapmasının exp(N-+0,5) ve N>30 için hep negatif olduğunun yani dördüz asalların sınırsız olduğunun matematik ispatının başarılabileceği yazılı!

    yukarda:
    https://www.muhendisbeyinler.net/wp-content/uploads/2014/07/asal-sayilar-ve-asal-sayilarin-gizemi.jpg
    resmine baktım da: saat yönünde ve tersi yönünde golden-rate spirallerin asal boşluklar için ‘eğilmiş’ gölgesi çok net görünüyor.
    yüce yaradan allah, golden-rate çok seviyor, çiftler halinde halkettiği mahlukuna bu oranla güzelik vermiş!
    insanların hesap bilgisi çok çok az!
    matematik eğitimi geliştirilmeli!
    insanlar asal boşlukların hesabını çözemeden kıyamet saati aniden gelecek!
    zaman sadece ilizyon, aslında her şey, tek bir halogram resim, unutmayın!
    cennette insanlar, başkasının köşküne ve eşine göz dikmiyor.
    demek ki insanların bir arada barış ve sevgi içinde ebediyen yaşaması mümkün.
    dünya da bu başarılabilir mi?
    gelmiş geçmiş çocuklar dua etse, üçüncü cihan harbi ertelenebilir ve dünyada barışın olduğu tek bir an mümkün!

  3. _____________________________

    p, reel pozitif bir asal ise, dördü birden asal olan:
    {p, p+2, p+6, p+8} şeklindeki veya
    Otuzlu, primoryel 6# , asal şablonundaki tarifle:
    {30M + 11, 30M + 13, 30M + 17, 30M + 19}
    örgüsündeki gibi yan yana dizli olan dördüz asallara quadruplets denmekte.

    quadruplets adedi kaba hesabı:
    ===============================
    N>30 olmak üzere exp(-+0,5+N) için
    4*(exp(N))/(N^4) şeklindeki kaba hesap, N>30 olmak şartıyla, gerçekteki quadruplets adedinden daima az,
    ama mutlak değeri %10 dan daha yakın bir adet değerinde hesaplanır.

    malum, her quadruplets iki adet ikiz asal içerir.
    böylece quadruplets için yapılan bu çalışma, ikiz asalların sınırsızlığını otomatik olarak gösterecek olmuş olur.
    N>30 olmak üzere, her exp(-+0,5+N) aralığında (quadruplets adedi) > 4*exp(N)/(N^4) eşitsizliği var ise,
    yani, gerçek quadruplets adedi, bu tahmini kaba hesaptan daima çok ise, N>30 olmak üzere her aralık için eğer böyle ise:
    sınırsız quadruplets olduğu çok açıkça bellirginleşeceği gibi,
    ayrıca kaba hesaptaki sapmanın mutlak değeri % 10 dan az ise, hayranlık verici bir düzen içinde dağılım gösteriyor demektir.

    quadruplets yarı ince hesap tarifi:
    ====================================
    (25/6)*(aralıktaki tam sayı adedi veya aralık uzunluğu) /(aralığın orta noktasının tabii logaritmasının dördüncü kuvveti yani ^4)

    Bu çalışma, hesaplama sevgisiyle hazırlanmış ve bütüncül bakış için perspektif göstermek veya en azından bir fikir olması içindir.

    N>30 olmak üzere, her exp(-+0,5+N) aralığında (quadruplets adedi) > 4*(exp(N))/(N^4) eşitsizliği ispatlanırsa ancak o zaman ispat tamamlandı denebilir.

    ___________________________________
    exp(0,5-+32)
    47893456332463
    130187912050633

    Prime numbers: 2565328558735
    Twin primes: 105591747180
    Prime triplets: 14253352473
    Prime quadruplets: 322735035
    Prime quintuplets: 49120222
    Prime sextuplets: 1307844

    Elapsed time: 179951.89 sec
    49 saat veya yaklaşık iki gün

    yarı ince hesap:
    aralık uzunluğu=130187912050633-47893456332463=82294455718170
    aralığın orta noktası tabii logaritması=ln((130187912050633+47893456332463)/2)=32,120114506958273785958139183185
    int((25/6)*82294455718170/32,120114506958273785958139183185^4)= 322144704
    sapma: ( 322144704-322735035)/ 322144704=%-0,18=binde eksi iki

    kaba hesap:
    int(4*exp(32)/32^4) = 301219788 < 322735035
    sapma: (301219788 – 322735035) /301219788 = % -7,14
    ___________________________________
    exp(0,5-+33)
    130187912050633
    353887435612260

    Prime numbers: 6762467049487
    Twin primes: 269934079037
    Prime triplets: 35335824714
    Prime quadruplets: 775878111
    Prime quintuplets: 114521242
    Prime sextuplets: 2958907

    Elapsed time: 480536.52 sec
    5,5 gün

    yarı ince hesap:
    aralık uzunluğu=353887435612260-130187912050633=223699523561627
    aralığın orta noktası tabii logaritması=ln((353887435612260+130187912050633)/2)=33,120114506958277911674974967094
    int((25/6)*223699523561627/33,120114506958277911674974967094^4)= 774616063
    sapma: (774616063-775878111)/774616063=%-0,16= binde eksi iki

    kaba hesap:
    int(4*exp(33)/33^4) = 723972607 < 775878111
    sapma: (723972607 – 775878111)/723972607 = % -7,17
    ___________________________________
    exp(-+0,5+34)
    353887435612259
    961965785544776
    Prime numbers: 17842861844016
    Twin primes: 691321034769
    Prime triplets: 87840302693
    Prime quadruplets: 1872127524
    Prime quintuplets: 268223569
    Prime sextuplets: 6718630

    Elapsed time: 816749.49 sec
    9,5 gün AMD 2Ghz 4 işlemcili 8GB bellek

    yarı ince hesap:
    aralık uzunluğu=961965785544776-353887435612259=608078349932517
    aralığın orta noktası tabii logaritması=ln((353887435612259+961965785544776)/2)=34,120114506958276548522610508312
    int((25/6)*608078349932517/34,120114506958276548522610508312^4)= 1869417824
    sapma: (1869417824-1872127524)/1869417824=%-0,14=binde eksi bir

    kaba hesap:
    int(4*exp(34)/34^4)= 1746452217 < 1872127524
    sapma: (1746452217 – 1872127524) / 1746452217 = % -7,1960
    ___________________________________
    exp(34)-+(500 milyar) aralığında:
    aralık değeri bir trilyon adet 14 haneli tamsayıdan oluşur.
    582961742527454
    583961742527454
    Prime numbers: 29411801752
    Twin primes: 1142153434
    Prime triplets: 145446915
    Prime quadruplets: 3106361
    Prime quintuplets: 444676
    Prime sextuplets: 11078

    Elapsed time: 854.02 sec

    yarı ince hesap:
    aralık uzunluğu=10^12=bir trilyon
    aralığın orta noktası tabii logaritması=34
    int((25/6)*10^12/(34^4))= 3117978
    sapma: (3117978-3106361)/3117978=%0,37=binde dört

    kabaca quadruplets adedi hesabı:
    int(4*10^12/(34^4))=2993259
    2993259< 3106361
    sapma: (2993259 – 3106361)/2993259= % – 3,7=yüzde eksi dört
    __________________________________
    exp(37,777) -+ 500 milyar aralığı:
    1 trilyon adet 16 haneli tamsayıdan oluşur.
    25487904036980675
    25488904036980675

    Prime numbers: 26471172237
    Twin primes: 925192357
    Prime triplets: 106039819
    Prime quadruplets: 2039480
    Prime quintuplets: 263930
    Prime sextuplets: 5903

    Elapsed time: 956.16 sec
    16 dakika civarı

    yarı ince hesap:
    (25/6)*(10^12)/((37,777)^4)=2045874
    sapma:(2045874-2039480)/2045874=%0,31=binde 3

    kaba hesap:
    4*(10^12)/((37,777)^4)=1964039 30 ise, N tamsayı, olsun, olmasın, exp(N-+0,5) veya exp(N)-+exp(N-1) veya exp(N)-+exp(N-2) veya exp(N)-+exp(N-3)
    için kaba hesap daima küçük görünüyor.
    bu kaba hesap ispatlansa, eşitsizlik ile bütün quadruplets dağılımı için yeterli bilgi içerir.
    sapma:(1964039-2039480)/1964039=%-3,84=yüzde -dört

    _________________________________
    exp(40) -+ 500 milyar aralığı:
    1 trilyon adet 18 haneli tamsayıdan oluşur.
    235384766837019985
    235385766837019985
    Prime numbers: 24999938944
    Twin primes: 825188677
    Prime triplets: 89310926
    Prime quadruplets: 1620413
    Prime quintuplets: 197641
    Prime sextuplets: 4159

    Elapsed time: 1624.42 sec
    27 dakika civarı

    yarı ince hesap:
    (25/6)*(10^12)/(40^4)=1627604
    sapma:(1627604-1620413)/1627604=%0,44=binde 4

    kaba hesap:
    4*(10^12)/(40^4)=1562500 < 1620413
    sapma:(1562500-1620413)/1562500=%-3,706=yüzde eksi dört
    ____________________________________
    exp(44)-+(500 milyar) aralığında:
    aralık değeri bir trilyon adet 20 haneli tamsayıdan oluşur.
    12851599614359308275
    12851600614359308275
    Prime numbers: 22727213027
    Twin primes: 681966319
    Prime triplets: 67103942
    Prime quadruplets: 1105744
    Prime quintuplets: 122776
    Prime sextuplets: 2304

    Elapsed time: 8622.31 sec
    iki buçuk saat civarı

    yarı ince hesap:
    aralık uzunluğu=10^12=bir trilyon
    aralığın orta noktası tabii logaritması=44
    int((25/6)*10^12/(44^4))= 1111675
    sapma: (1111675-1105744)/1111675=%0,53=binde beş

    kabaca quadruplets adedi hesabı:
    int(4*10^12/(44^4))=1067208
    1067208 30 olmak üzere, her exp(-+0,5+N) aralığında (quadruplets adedi) > 4*(exp(N))/(N^4) eşitsizliği
    ispatlanır ise şüphe kalmaz zaten!

    halogramla bakılsa:
    30M+{1,7,11,13,17,19} biçimindeki genişletilmiş quintuplets, yani +1 eklenmiş altılı eleman örgüsü olan asallar, yani qunti isimli altız asallar için exp(-+0,5+1000) aralığında en az 413 haneli sayı adedinde qunti var.
    ____________________________________
    soru 2:
    M127=2^127-1 asal sayısını düşünelim.
    exp(-+0,5+M127) aralığında quadruplets adedini kabaca yaklaşık hesalayın.
    aralık içinde her M127 tamsayıda yani yaklaşık 1,*10^38 tamsayıda ortalama sadece bir adet asal olur.
    asal sayılar biraz seyrelmiştir.
    aralık içinde ikiz asal adedi kaba heasbı:
    int((4/3)*(exp(M127))/((M127)^2)) **
    aralık içinde quadruplets adedi kabaca hesablansa:
    int(4*(exp(M127))/((M127)^4)) **

    bu ** sayıları, insan beyninin bağlantı kombinasyonundan fazla, tahyyül etmesi kolay olmayacak adette ikiz asal ve quadruplets var.
    ___________________________________
    soru 3:
    h0=2
    h1=2^h0 -1=3
    h2=2^h1 -1=7
    h3=2^h2 -1=127
    h4=2^h3 -1=M127=2^127-1

    şeklindeki iteratif catalan sayılarını düşünelim.

    ispatlaması kolay ki h19 asaldır.
    bunu görmek ve göstermek için biraz zihin eforu sarfedin lütfen!
    exp(-+0,5+h19) aralığındaki ikiz asal ve quadruplets adedini kabaca bulunuz.
    ikiz asal adedi aralık içinde kabaca:
    int((4/3)*(exp(h19))/((h19)^2)) *******
    aralık içinde quadruplets adedi kabaca hesablansa:
    int(4*(exp(h19))/((h19)^4)) *******

    bu ******* sayıları hayal edilmeye çalışılmamalı!
    netice: ikiz asallar ve quadruplets örgüsündeki dördüz asallar ve genişletilmiş quintuplets olan qunti altızları sınırsız sayıdadır.

    ##########################################################################
    şimdi daha geniş, oran farkları ile bir bütüncül bakalım:

    şimdi de exp(N-+0,5) için N=32,33,34 aralılarındaki her bir N adımında aralık uzunluğu, asal, ikiz asal ve dördüz asal adetlerinin,
    bir önceki aralıktaki değerinin oranlarına bakalım:

    aralık uzunluğu kaba hesap: exp(33-+0,5) / exp(32-+0,5)
    2,7182818284590199820338517279536
    aralık uzunluğu kaba hesap: exp(34-+0,5) / exp(33-+0,5)
    2,7182818284590199820338517279536
    2,7182818284590452353602874713527… = gerçek e(1)
    farkın nedeni, exp(32-+0,5) aralığında tamsayı olmayan ifadenin tam sayı olarak ifadesindeki kesir farkıdır.
    örneğin:exp(32+0,5)=130187912050632,93871267457470126… olup tam sayı kısmı 130187912050632 olarak alınıca 0,93871… bu kesir farkını belirliyor.
    bu kesir farkı, N büyüdükçe azalır. tabii ki e sayısını yeterli doğru digitte ifadesi biliniyor olmalı ve açıkça belirlenmiş olmalıdır.

    asal adedi oranı: exp(33-+0,5) / exp(32-+0,5)
    2,6361017291374437773221791045403
    asal adedi oranı: exp(34-+0,5) / exp(33-+0,5)
    2,6385136834595826266709522654875
    buradaki asal adedi oranı gerçek değer olup, günler boyu hesaplanan değerdir.
    sayı aralığı, her exp(1) kat büyüse, asal adedi gittikçe exp(1) sayısına yaklaşır.

    ikiz asal adedi oranı: exp(33-+0,5) / exp(32-+0,5)
    2,5563937168010785064083262951081
    ikiz asal adedi oranı: exp(34-+0,5) / exp(33-+0,5)
    2,5610735674254760474510422459267
    bunlar gerçek ikiz asal adedi oranlarıdır.

    dördüz asal adedi oranı: exp(33-+0,5) / exp(32-+0,5)
    2,4040715350287272034162637471324
    dördüz asal adedi oranı: exp(34-+0,5) / exp(33-+0,5)
    2,4129144738818388962129130099921

    bunlar gerçek dördüz asal adedi oranlarıdır.

    şimdi kaba tahmini hesapla oranlara bakalım, ne gibi bir sapma oluyor:

    asal adedi oranı: exp(33-+0,5) / exp(32-+0,5)
    (exp(33)/33) / (exp(32)/32) = (exp33 / exp 32) / (33/32)=exp(1)*(32/33)=2,6359096518390741676220969419177
    sapma:(2,6359096518390741676220969419177-2,6361017291374437773221791045403)/2,6359096518390741676220969419177=yüzbinde eksi 7

    asal adedi oranı: exp(34-+0,5) / exp(33-+0,5)
    exp(1)*(33/34)=2,6383323629161321402026319574893
    sapma:(2,6383323629161321402026319574893-2,6385136834595826266709522654875 )/2,6383323629161321402026319574893=yüzbinde eksi 6,9
    buradaki asal adedi oranı ise tahmini değer olup, bir-kaç dakikada hesaplanan değerdir.

    ikiz asal adedi oranı kaba hesapla: exp(33-+0,5) / exp(32-+0,5)
    [(4/3)*exp(33)/(33^2)] / [(4/3)*exp(32)/(32^2)]=
    exp(1)*(32^2/33^2)=2,5560336017833446473911243073142
    sapma:(2,5560336017833446473911243073142- 2,5563937168010785064083262951081)/2,5560336017833446473911243073142=onbinde eksi 1,4
    ikiz asal adedi oranı kaba hesapla: exp(34-+0,5) / exp(33-+0,5)
    exp(1)*(33^2/34^2)=2,5607343522421282537260839587397
    sapma:(2,5607343522421282537260839587397-2,5610735674254760474510422459267)/2,5607343522421282537260839587397=onbinde eksi 1,3

    dördüz asal adedi oranı kaba hesapla: exp(33-+0,5) / exp(32-+0,5)
    [(4)*exp(33)/(33^4)] / [(4)*exp(32)/(32^4)]=
    exp(1)*(32^4*33^4)=2,4034696126961844985569433339667
    sapma:(2,4034696126961844985569433339667-2,4040715350287272034162637471324)/2,4034696126961844985569433339667=onbinde -2,5
    dördüz asal adedi oranı kaba hesapla: exp(34-+0,5) / exp(33-+0,5)
    exp(1)*(32^4*33^4)=2,4123180878820741075326171549027
    sapma:(2,4123180878820741075326171549027-2,4129144738818388962129130099921)/2,4123180878820741075326171549027=onbinde -2,5
    kaba hesapla bile olsa bir üst bir alt aralık adet oranı sapmaları gerçek değerlerden çok az sapma veriyor.

    exp(1000-+0,5) aralığındaki ikiz asal adedi kabaca
    (4/3)*exp(1000)/(1000^2)

    exp(1001-+0,5) aralığındaki ikiz asal adedi kabaca
    (4/3)*exp(1001)/(1001^2)

    sonraki aralıktaki ikiz asal adedini ilkine bölelim:

    (exp(1001)/exp(1000))/(1001^2/1000^2)=exp(1)/(1,002001)

    şimdi de
    exp(10001-+0,5) aralığındaki ikiz asal kaba hesabındaki adedi
    exp(10000-+0,5) aralığındaki ikiz asal adedi kaba tahminine bölelim:

    (exp(10001)/exp(10000))/(10001^2/10000^2)=exp(1)/(1,00020001)

    şimdi de
    exp(101-+0,5) aralığındaki ikiz asal kaba hesabındaki adedi
    exp(100-+0,5) aralığındaki ikiz asal adedi kaba tahminine bölelim:

    (exp(101)/exp(100))/(101^2/100^2)=exp(1)/(1,0201)

    netice:
    N sonsuza yaklaşırken, exp(N-+0,5) aralığındaki her N adımında, ikiz asal adedi: exp(1)=2,7182818284590452353602874713527… katına yaklaşır.

    quadruplets için de böyledir.

    (exp(1001)/exp(1000))/(1001^4/1000^4)=exp(1)/(1,004006004001)

    (exp(10001)/exp(10000))/(10001^4/10000^4)=exp(1)/(1,0004000600040001)

    N yüzkatına çıkınca dördüz asal adedinin her bir N adımındaki, bir önceki N adımına göre oranının exp(1) sayısına yaklaşımı da bir bölü yüz iyileşmeli oluyor.
    N sonsuza yaklaştıkça dördüz asal adımlarında her bir adımda, bir öncekine göre, exp(1) katına çok yakın dördüz olur, ama hiç bir zaman exp(1) olmaz! sadece iyice yaklaşır o kadar.

    böylece en geniş aralıklarda ve hatta sonsuza giderken işin esamesi açıkça görülmüş olur. bütünü görmeden konu açıkça bilinemez.
    geniş aralıkta bu izahım yararlı oldu ise ne mutlu türküm.
    ispatı çok önemseyip kendinizi aşırı sıkmayın, geniş perspektiften işin iç yüzünü anlayın, bu asıl mühim olandır.

    ispatlamak istiyorum denirse: exp(N-+0,5) için asal adedi / ikiz asal adedi < N ispatı kolaydır. riemann fonksiyonu ve derken biraz kompleks dönüşüm hesabıyla, yarım sayfa bişey.

    yadi .sk/i/0NzHDz_u3TkGFA

  4. tam sayı olsun olması, her N>30 için, exp(-+0,5+N) için asal adedi / ikiz asal adedi < N

    düzeltirim, lütfen affedin. parmak şaşar bile olsa, buna şükür denir.

  5. N, tamsayı olsun, olmasın:
    olmadığında ikiz asal adedi tahmini test edilse:
    N=43,5
    exp(43,5)-+43milyon500bin aralığında, aralık uzunluğu:2*43milyon500bin=87milyon
    tahmini ikiz asal adedi=int((45/34)*87*10^6/43,5/43,5)=60851
    gerçekteki ikiz asal adedi:60876s
    yarı incelikli hesapta tahmini sapma: (60851-60876)/60851=%-0,039..=onbinde eksi dört

    exp(43,5)-+43milyar500milyon aralığında, 87 milyar adet tam sayı.
    tahmini ikiz asal adedi=int((45/34)*87*10^9/43,5/43,5)=60851926
    gerçekte:60700473
    tahmini sapma: (60851926-60700473)/60851926=%0,2..=binde 2

    N=44,36141955
    exp(44,36141955)-+10milyar aralığı, 20 milyar 20 haneli tamsayıdan oluşur.
    tahmini ikiz asal adedi=int((45/34)*20*10^9/44,36141955/44,36141955))=13450942
    gerçekte:13417630
    sapma:(13450942 – 13417630)/13450942 =%0,2..=binde 2

    18446743956045133783
    18446743976045133783

    Prime numbers: 450810607
    Twin primes: 13417630
    Prime triplets: 1311987
    Prime quadruplets: 21369
    Prime quintuplets: 2336
    Prime sextuplets: 47

    Elapsed time: 99.76 sec

    netice: asal ve ikiz asalların dağılımının tam bir düzen içinde olduğu görülür.
    sadece sınırsız ikiz asal olduğunu göstermek için değil, dağılımdaki hayranlık veren düzeni ispatlamak için:
    tamsayı olsun olmasın, her N>30 için, asal adedi / ikiz asal adedi < N olduğunu göstermek (ispatlamak) yeterli olur.

    hoş ve gülümseyen adam, goldbach tezi için asal boşluklarda işler nasıl oluyor? diye inceleme yaparken gördüm ki ikiz asallarla bir bağlantı var:
    şöyle ki: asal boşluklardaki 30N+12 biçimindeki çift sayıları sağlayan asal çiftlerin adedi:
    p1+p2=30N+12 iken p2+p1 tekraren aynısı olduğu için alınmadığında, çift sayıdan küçük olan ikiz asalların adedine çok yakın,
    ama sadece 30N+12 olan çift sayılarda! asal_bosluklar.7z dosyasından bakabilirsiniz.

    ayrıca 30N+10 biçiminde olan goldbach sayılarınını sağlayan asal ikili sayısı, random olarak belirlenen bir sistemle de tam uyum içinde.
    yeteri kadar çok elemanlı sistemlerde random davranışı kumar olmaktan çıkıp,
    gauss un normal dağılımının geliştirilmişi olan hiper geometrik dağılıma uyuyor
    ve tam bir düzen görünüyor. random_testi_beyaz_top_goldbach_30N+10.7z dosyasında

    geçen sene yazdığım programları şurdan alabilirsiniz.
    yadi .sk/d/Ii2PiBkg3MUUpQ

    geldik, gidiyoruz, sağlıcakla, sevgiyle.

  6. soru:
    exp(0,5-+M127) aralığında ikiz asal adedini yaklaşık bulunuz.

    şeklinde hatalı basmışım,

    soru:
    exp(-+0,5+M127) aralığında ikiz asal adedini yaklaşık bulunuz.
    olmalı, lütfen şaşar beşer parmağımı affedin.

    ayrıca hataen de olsa yazdığım 0 ila exp(0,5+M127) aralığında ikiz asal adedi exp(-+0,5 + M127) aralığındakinin üç katından azdır yani yakındır, çok büyük sayılarda üç katın lafı olmaz!

    ayrıca ispat satırı hatalı: Exp(N -+ 0,5) için asal adedi / ikiz asal adedi <N olmalı. bununla veda ediyorum, sağlıcakla, sevgiyle.

  7. kriptologia için iri sayıların çarpanlara ayrılması kolay olmaz zannetmek, ve asal sayıları işe sokmak ham salaklıktır!
    masum insanların güvenliğini riske atmak neyin nesidir?
    insan hakikatten çok cahil!

  8. ikiz asal adedi hesabı için kaba ve ince hesap yöntemi göstermek isterim:

    kaba hesapla:

    exp (33,5) ile exp (34,5) arasında tahmini int(exp(34)) adet tam sayı olur, gercekte 608078349932516 ki bu exp(34,0413) civarı olup çok yakın.
    tahmini asal adedi int((1/34)*exp(34)) : 17160639486101, gercekte 17842861844016 olup
    asal adedi tahmini sapma: (17160639486101 – 17842861844016) / 17160639486101 = % -3,98 = yüzde eksi dört
    tahmini ikiz asal adedi int( (4/3) * exp(34)/34/34) )= 672966254356 , gercekte 691321034769 olup
    ikiz asal adedi tahmini sapma: (672966254356 – 691321034769) / 672966254356 = % -2,73 = yüzde eksi üç
    elle hesap makinesiyle (program kullanmadan) kaba hesap süresi:int( (4/3) * exp(34)/34/34) )için 3 saniye bir dakika arası

    primesieve org
    353887435612260
    961965785544776

    Prime numbers: 17842861844016
    Twin primes: 691321034769
    Prime triplets: 87840302693
    Prime quadruplets: 1872127524
    Prime quintuplets: 268223569
    Prime sextuplets: 6718630

    Elapsed time: 816749.49 sec
    9,5 gün AMD 2Ghz 4 işlemcili 8GB bellek

    ince hesapla:
    alt sınır=int(exp(33,5))=353887435612260
    üst sınır=int(exp(34,5)=961965785544776
    tam sayı adedi=üst sınır-alt sınır=608078349932516
    üst sınır ve alt sınırın orta noktası=(üst sınır + alt sınır)/2=(961965785544776+ 353887435612260)/2=657926610578518=exp(34,120114506958277308485791751806)
    tahmini asal adedi=int(tam sayı adedi/(orta noktanın tabii logaritması))=int(608078349932516/34,120114506958277308485791751806)=17821697222279
    tahmini asal hesabı sapması=(17821697222279-17842861844016)/17821697222279=%-0,12=binde eksi bir
    tahmini ikiz asal adedi=(int((45/34)tam sayı adedi/(orta noktanın tabii logaritması^2))
    =int((45/34)*608078349932516/34,120114506958277308485791751806/34,120114506958277308485791751806)=691308947290
    tahmini ikiz asal hesabı sapması=(691308947290-691321034769)/691308947290=%-0,0017=yüzbinde eksi iki
    elle program kullanmdan ince hesap süresi:30 saniye ile 5 dakika arası

    yeniden ince hesaplasak:

    130187912050633
    353887435612260

    Prime numbers: 6762467049487
    Twin primes: 269934079037
    Prime triplets: 35335824714
    Prime quadruplets: 775878111
    Prime quintuplets: 114521242
    Prime sextuplets: 2958907

    Elapsed time: 480536.52 sec
    5,5 gün

    alt sınır=int(exp(32,5))=130187912050633
    üst sınır=int(exp(33,5)=353887435612260
    tam sayı adedi=üst sınır-alt sınır=223699523561627
    üst sınır ve alt sınırın orta noktası=(üst sınır + alt sınır)/2=(353887435612260 + 130187912050633)/2=242037673831446,5=exp(33,120114506958277911674974967094)
    tahmini asal adedi=int(tam sayı adedi/(orta noktanın tabii logaritması))=int(223699523561627/33,120114506958277911674974967094)=6754189316423
    tahmini asal hesabı sapması=(6754189316423-6762467049487)/6754189316423=%-0,12=binde eksi bir
    tahmini ikiz asal adedi=(int((45/34)tam sayı adedi/(orta noktanın tabii logaritması^2))
    =int((45/34)*223699523561627/33,120114506958277911674974967094/33,120114506958277911674974967094)=269907527373
    tahmini ikiz asal hesabı sapması=(269907527373-269934079037)/269907527373=%-0,00983=yaklaşık =% -0.01 = onbinde eksi bir

    yeniden ince hesaplasak:

    47893456332463
    130187912050633

    Prime numbers: 2565328558735
    Twin primes: 105591747180
    Prime triplets: 14253352473
    Prime quadruplets: 322735035
    Prime quintuplets: 49120222
    Prime sextuplets: 1307844

    Elapsed time: 179951.89 sec
    49 saat veya yaklaşık iki gün

    alt sınır=int(exp(31,5))=47893456332463
    üst sınır=int(exp(32,5)=130187912050633
    tam sayı adedi=üst sınır-alt sınır=82294455718170
    üst sınır ve alt sınırın orta noktası=(üst sınır + alt sınır)/2=(47893456332463 + 130187912050633)/2=89040684191548=exp(32,120114506958273785958139183185)
    tahmini asal adedi=int(tam sayı adedi/(orta noktanın tabii logaritması))=int(82294455718170/32,120114506958273785958139183185)=2562084755343
    tahmini asal hesabı sapması=(2562084755343-2565328558735)/2562084755343=%-0,12=binde eksi bir
    tahmini ikiz asal adedi=(int((45/34)tam sayı adedi/(orta noktanın tabii logaritması^2))
    =int((45/34)*82294455718170/32,120114506958273785958139183185/32,120114506958273785958139183185)=105572305117
    tahmini ikiz asal hesabı sapması=(105572305117-105591747180)/105572305117=%-0,018=yaklaşık =% -0.02 = onbinde eksi iki

    incenin de incesi hesap var mıdır? tabii ki vardır ve her k-tuplets için 300trilyon>N>30 için exp(N -+ 0,5) aralığında bundan çok çok hassas sonuç verir, hem de bir-kaç dakikada ama konummuz bu değil! şimdi sadece ikiz asal bakıyoruz.

    ince hesabı bi kenara bırakıp,

    M127=2^127-1 asal sayısını düşünelim.
    soru:
    exp(0,5-+M127) aralığında ikiz asal adedini yaklaşık bulunuz.

    kalender meşreb olanlar kaba hesapla hesaplar, mesainin çok fazla hesapla harcanması yerine eğlenmeye ve sevdiklerimizle birlikte olmaya zaman kalır.

    (4/3)exp(M127)/M127/M127 adet kaba hesapla ikiz asal adedi.
    ortalama her M127 tamsayıda yani yaklaşık 1,7*10^38 tam sayıda tekrar yazıyorum ortalama sadece bir adet asal olduğu halde, (4/3)exp(M127)/M127/M127 sayısı insan beyninin bağlantı kombinasyonudan fazladır. o halde tahayyül etmeniz zor olacak kadar adette ikiz asal var demektir.

    lütfen her sonsuz>N>30 için exp(N -+ 0,5) aralığında, ikiz asal adedi / asal adedi < N olduğunu ispatlayın.
    bu ispatı başarabilirseniz, siz de, ikiz asalların sınırsız olduğundan hiç şüphe etmeyeceksiniz zaten değil mi?

  9. katkı (2)

    asimetrik kriptoloji asal sayıları çok sever; peki neden diye soracak olursak şöylece izah etmek uygun olur:

    Bazı işlemlerin “tersleri” kendilerine göre kolaydır. Mesela 89 ile 97 yi çarpmanızı istesem biraz düşünür olmadı elinize bir kağıt kalem alır ve kısa bir süre sonra 8.633 diye cevap verirsiniz.

    Peki şimdi ilk işlemi hiç yapmadık farzediyoruz; işleme tersten gediş bakalım nedir ve nasıldır;

    8633’ü çarpanlarına ayırın desem baya baya düşünürsün
    2 ye bölmeyi denersin olmaz
    3 e bölmeyi denersin olmaz
    5 e bölmeyi denersin olmaz
    7 ye bölmeyi denersin olmaz
    11 e bölmeyi denersin olmaz
    13 e bölmeyi denersin olmaz
    17ye e bölmeyi denersin olmaz
    19 a bölmeyi denersin yine olmaz,
    sıkılmaya başlarsın ve bu nasıl bir iş dersin,
    sonra içinde bir hırs illa ki bulmak istersin ve devam edersin
    23 e bölmeyi denersin olmaz,
    29 a bölmeyi denersin olmaz,
    31 e bölmeyi denersin olmaz,
    37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 olmaz olmaz olmaz…
    sıradaki sayı 89dur ve
    bingo ilk çarpanı buldun
    ikinci çarpan ise 97…

    işte bu örnek göstermektedir ki bazı işlem bağıntılarının tersleri zorlayıcıdır bu şekildeli bağıntılarla yapılan işlemler asimetriktir. (işlemin asimetrik yansımalı giçişmeli geğişmeli simetrik birim elemanlılık gibi yapısal özellikleri ile karıştırmayın bu başka)

    İşte bu sebeple konu criptoloji olunca sifrelemenin kolay şifre çözmenin zor olması beklenir görüldüğü gibi asitmerik şifreleme buna oldukça elverişlidir.

    Dikkat ettiniz mi gerek 89, gerek 97 asal sayıdır, seçeceğimiz asallar ne kadar büyük olarsa bu şifrenin çözülmesi o kadar zor olacaktır. Demek ki asimetri de asalları seçmek şifrenin çözümünü daha zor hale getircektir.

    RSA çok meşhur asimetrik şifreleme tekniğidir ama daha birçok farklı şifreleme tekniğinin olduğunu hatta bazılarında daha özel asalların hatta bazılarında asallardan bile daha özel işlem sistemlerinin kullanıldığını** söylemekte fayda var.

    yazınız için teşekkürler Mushab Bey,

    Merak eden ve sorgulayan zihinlerin sizlerin sayesinde artık neyi niçin öğrendiklerini bilebilecekleri, çevrimiçi oldukları her anda yanlarında olan kaynakları var.

    dipnot:
    *http://paper.ijcsns.org/07_book/200901/20090158.pdf
    ** paper.ijcsns.org/07_book/200901/20090158.pdf

  10. Kriptoloji için asal sayılar oldukça önemli hatta gelinen noktada kriptoloji asal sayılar ile uğraşıyor. Ancak kriptoloji tarihinin olmazsa olmazı asal sayılardır dersek yanlış olur çünkü kriptoloji bilindiği kadarıyla 4000 yıldır hayatımızda ilk defa bir mısırlı köle katip tarafından sahibinin hayatını kaleme alırken kullanılmıştı.

    Yaklaşık olarak 4000 yıl önce başlayan bu yöntem konvansiyonel kriptolojidir ve asal sayılarla ilgisi pek de yoktur.

    Kriptolojinin bilim serüveninde asal sayıların yer alması ise asimetrik kriptoloji ile başlamıştır. asal sayılar ve modüler aritmetik asimetrik kriptolojide kullanılır. Seneler 1977’yi gösterdiğinde Rivest, Shamir ve Adleman adlı üç bilim insanı asimetrik kriptolojiyi bilim ve “ticari” alana kazandırdı. (aslında II dünya Savaşı sırasında İngilizler şifrelemede asal sayıları kullandıklarını ancak güvenlik sebebiyle bunu açıklamadıklarını 1973’de MI5 elemanı Matematikçi ve İstihbaratçı Cocks önerse maddi imkansızlıkardan ötürü hayata geçemedi ancak 1998 ‘de bu durumu MI5 açıklasa da somut dayanak olmadığı için, kriptolojideki “asal çağı”n miladını 1977 olarak kabul etmek durumundayız. RSA algoritması, Birleşik Devletlerde 1983 yılında MIT’ten patent almış, patent 21 Eylül 2000 de son bulmuştu. Gel gör ki seneler 2000i gösterdiğinde anlaşıldı ki Clifford Cocks’un yöntemiyle Rivest, Shamir ve Adleman ın RSA yöntemi neredeyse tıpatıp benzerdi ve fermatın küçük teoremine dayanıyordu; acaba hal böyleyken CIA MI5’ten casusulukla aşırdı mı diye sormadan edenimiz var mıdır )

    RSA asimetrik kriptolojide sadece bilimsel şöhret elde etmekle kalmadı, ticari anlamda çok önemli paralar kazandı ve kazandırdı özellikle bankalara, artık ceplerimizde plastik paralar [debitler(bankamatik kartları) ve kreditler (kredi kartları)] vardı ve dolayısyla şifreler şifrelerin korunaklılığının hayati önemi…

    Ticari alan diyorum çünkü telif hakları sebebiyle RSA’nın mantığından yaklaşık 16 yıldır haberdarız.

    Peki o halde kriptolojide asal sayıların gördüğü iş ne?

    Kriptolojisinin olmazsa olmazı verici tarafından oluşturulan mesajın 3. taraflar için “çözülemez karmaşıklıkta” muhattap için ise(alıcı) “çözülebilir gizlilikte” olmasıdır. Bunun için ise mesajın kapsüllenmesi (encoding) ve kapsüllenen mesajın daha sonra eski haline döndürülmesi (decoding) gereklidir. Bu dönüşüm işlemleri için gerekli ilişki (bağıntı) iyi tanımlı ve anlamlı olmalıdır zira böylece işlevsel (fonksiyonel) olmalıdır. (Anlamlılık; tanım kümesinde yer alan bir eleman söz konusu bağıntıyla görüntü kümesinin dışına çıkmamalıdır. İyi tanımlılık; tanım kümesinde yer alan bir eleman söz konusu bağıntıyla görüntü kümesinde birden çok elemana ulaşamaz.)

    Bu aşamadan sonra ise mesajın yer aldığı tanım kümesinin söz konusu iyi tanımlı ve anlamlı bağıntı işlemiyle varacağı görüntü kümesinde tersinirlenebilir olması sağlanmalıdır. Yani bağıntımız ters fonksiyon kurabilecek yapıda olmalı, görüntü kümesi tanım kümesine tanım kümesi ise görünt kümesine kapalı olmalıdır.

    Yani bu fonksiyon görüntü kümesinden de tanım kümesine dönüş sağlayabilmelidir. Ayrıca şifreleme ambalajımız kendine has bir dizilimi olan alfabe gibi olmalıdır yani modülatif sayma sıralama (modüler aritmatik) özelliği sergilemelidir.

    Peki bu durum en güvenilir olarak hangi alet çantasıyla sağlanabilir acaba? Bağıntıda kullanılacak elemanlar nasıl olmalıdır yani?

    Şimdi bir sayı düşünelim bu sayı kendisinin çarpanı olmayan bir asal sayı kadar kensisiyle çarpılmış olsun. İşte böylelikle bulduğumuz bu sayıdan düşündüğümüz o sayıyı çıkarırsak bulacağımız sonuç her zaman o seçtiğimiz asal sayımıza bölünür. (Fermatın Küçük Teoremi FKM olarak bilinir).

    FKM görüleceği gibi, iyi tanımlı ve anlamlı bir bağıntı tanımlamaktadır. Ayrıca bu tanımlama modüler aritmetik yapı da sergilemektedir.

    RSA (veya C. Cocks) bunu farkediyor iki çok büyük ve birbirine yakın asal sayı seçiyor, toitent fonksiyonu ile genel şifreleme anahtarını (o asalların birer azlarının çarpımı) oluşturuyor. Sonra bir başka asal sayı seçiyor. Artık bu asal sayı ile çarpımı genel şifreleme anahtarı modülünde (alfabesinde) 1 kalanı veren sayıyı bulma zamanı. bu sayı özel-kişisel şifreleme anahtarı oluyor ki bulunuşu için modülatif sayma sıralaması olan “uzatılmış euklides algoritması” uygulanıyor. İşte böylelikle asal sayıları ve asal sayıların sağladığı avantajı kullanarak asimetrik kriptloji yapılabiliyor.

  11. Teşekkürler, güzel bir yazı. Elinize sağlık… Şifreleme için kullanıldığını biliyordum ama bende şunu merak ediyorum; Şifrelemede nasıl ve neden kullanılıyor? Buna benzer birkaç yazı okumuştum ama çok teorik düzeyde… Bunu yerine daha basit düzeyde anlatılmasını isterdim doğrusu. Mesela konuyu bilen birisi “7” asal sayısını kullanarak basit bir şifreleme mantığı anlatsa, ve bunun yerine asal olmayan bir sayı kullanılırsa sonuç nasıl olur onu anlatsa pek bir memnun olurdum.

  12. Yazı için teşekkürler. Benim merak ettiğim konu şu. Şu kadar milyon basamaklı asal sayıyı bulunca bize faydası ne oluyor? Neden bunun araştırmasını yapıyorlar? Ne bulmayı umuyorlar. Yeni bir asal sayı bulma yöntemi mi bulmaya çalışıyorlar?

    • Asal sayıların matematikçiler için neden önemli olduğu hırs, başarma tutkusu ve tarihe adını yazmakla açıklanabilir. Günümüzde ise asal sayı devletler ve bankalar için bir güç yarışına dönmüştür. Asal sayı, şifreleme biliminin temelidir. Bir şifre de deneme yanılma yoluyla eninde sonunda çözülebilir. En büyük asal sayıyı bulma yarışı ise o asal sayı kullanılarak yapılan şifrelemeyi çözme süresini uzatmaya yaramaktadır. Mesela günümüzün bilgisayarları ile on yılda kırılabilecek bir şifre yeni nesil bilgisayarlar ile bir haftada kırılabilir. Bu yüzden bilgisayarların işlem hızı arttıkça daha büyük asal sayılar bulmak gerekmektedir.

    • @Oğuzhan Mallı, Asal sayıları doğal sayıların çarpımsal atomik parçaları olarak düşünebiliriz. Dolayısıyla ne kadar fazla asal sayı bilinirse doğal sayıların çarpımsal özelliklerine o kadar hakim olunur. Çarpma toplamanın, toplama ise saymanın kısa yolu olduğundan, çarpımsal özelliklere hakim olmak aslında doğal sayıların bir nevi inşa edilme amacı olan sayma işine hakim olmak demektir; ki bu da insanın temel bir içgüdüsünü tatmin eder.

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.