Asal Sayılar

21525
asal sayılar

Asal sayılar denildiği zaman hemen hemen herkesin kafasında bir tanım oluşmuştur. Bu yüzden asal sayılar için şu bu gibi tanım yapmak istemiyorum. Bu yazıda biraz daha derinlere dalmak istiyorum. Asal sayılar eskilerden beri sadece matematikçilerin değil tüm insanların ilgisini çekmiştir ki bu sadece bilim ile uğraşan insanlardır. Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için herhangi bir formül yoktur. Bu formül dediğimiz denklem biçiminde matematiksel bir terimden başka bir şey değildir. Asal sayıları hesaplamak için kullanılan bilgisayarlar artık ilgi ve alakadan bıkmış olması gerek ki bazı bilgisayarlar maalesef hesaplama sırasında bazı hatalar ve çöküşlere maruz kalmaktadır. Bu sayılar için 300 basamaklı olarak hesapladığım bir asal sayıyı sizlere vereyim.

303956878386401977405765866929034577458793993314348263094772646453283062722701277632936616063144088173312372882677123879538709400158306567338328279154499698366071906766440037074217117805690872792848149112022286332144876183376326512083574821647933992961249917319836219304274280243803104015000563790123

Asal sayıların tarihi matematiğin tarihi kadar eskidir. Meşhur Keops Piramidinin incelenmesi sırasında bazı bulgulara rastlanması piramitlerin de inşa edildiği yılların göz önüne alınmasıyla geçmişinin köklü olduğu bilmekteyiz. Asal sayılar genelde herkes tarafından bilinen Öklid’in Elementler kitabında da bulacağınız “ Asal sayılar sonsuzdur” ibaresinin ispatını olmayana ergi yöntemi ile vermiştir. Bu ispatı vermek istemesem de okuyucunun konu hakkında daha derin düşüncelere sahip olmasını sağlamak için ön koşul olarak verelim.

Kanıt: Matematikte kullanılan ispat yöntemlerinden olmayana ergi yöntemiyle sonuca ulaşmaya çalışalım. Diyelim ki asal sayılar sonlu olsun.Bu sonlu asal sayı dizisinde n tane eleman olduğunu farz edelim. Bu sayıların hepsi sırasıyla;

P1 , P2 , P3 … Pn olsun. Bu durumda P1 = 2 , P2 = 3 , P3= 5 … olur.
Şimdi tüm asal sayıları çarpıp, bu çarpıma 1 ekleyelim. Oluşan sayıya A diyelim;

A = (P1 .P2 . P3 … Pn ) + 1

Varsayımımıza göre; A asal olamaz, çünkü A, tanımladığımız tüm asal sayıların içinde yok ve tanımladığımız bu asal sayıların hepsinden büyük. Bu yüzden, A asal olmadığına göre; A’nın kendisinden ve 1’den başka bir sayıya, dolayısıyla bir asal sayıya bölünmesi gerekir. Bu durumda A’nın P1 , P2 , P3 … Pn sayılarından en az birine bölünmesi gerekir. Ama eşitlikte gördüğümüz üzere; A bu sayıların hiçbiri ile tam bölünmez, her seferinde 1 kalanını verir. O halde, A sayısının bu asallardan farklı bir asal böleni vardır. Bütün asal sayıları yazdığımızı varsaydığımız için A’nın bölünebileceği başka bir asal sayı mevcut değildir. Bu durumda A asaldır.

asal sayılar ve delilikSonuç olarak; varsayımımıza göre A asal olamaz, çünkü yazdığımız tüm asal sayıların hepsinden büyük. Ama A, bu yazdığımız asal sayılara bölünmediği için asal olmak zorundadır. Burada bir çelişki vardır. Bu yüzden varsayımımızın yanlış olduğu ortaya çıkar. Varsayımımızın söylediğinin aksine; asal sayılar sonlu değil sonsuzdur.

Bu kanıt matematikte en güzel ispatlar adlı bir kitap olsa ya da sıralama yapılsa ilk 5’e aday gösterilebilir. Ama matematikte en güzel ispat nedir sorusu biraz muallakta! Asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu 17. yy bizlerin hayali olan adam L. Euler – bu matematikçi için çok özel bir bölüm vardır – yakınsak ve ıraksak dizileri kullanarak müthiş bir kanıtını vermiştir. Asal sayıların sonsuz olduğu anlaşıldıktan sonra bazı matematikçilerin asal sayılar üzerinde çalışmaları hiç hız kesmemiştir. Bunlardan bence en önemlileri Pierre de Fermat’ın ortaya attığı 22n+1 şeklindeki sayıların herhangi bir “n” doğal sayısı için bir asal sayı verdiğini söylemiştir ki bu ilk 4 için sağlanmıştır ve matematik dünyasında bu 5 yıl kadar kabul görmüştür, Euler asal sayılar ile ilgili kitabını yazarken yaptığı çalışmalar sonucunda Fermat asallarının ilk dört sayıdan sonra hiçbir sayı için sağlanmadığını ispatlamıştır.

Bir öneri olarak insanlar bu sayılara hala Fermat asalları diye hitap etmesine rağmen bu sayılar asal olmaktan çıkmıştır. Yine 17. Yüzyılda Fransız rahip Marin Mersenne de p asal sayı olmak üzere 2p – 1 şeklindeki sayıları inceledi. Bu sayılardan önemli bir kısmı asal çıkıyordu. Asal sayıların bir formülünü bulmada önemli bir adım olduğu için bu sayılara Mersenne sayıları adı verildi. Asal olanlarına da doğal olarak Mersenne asal sayıları dendi.

Mersenne yaptığı çalışmalar ile acaba asal sayıları üreten bir formül olup olmadığını basit cebirsel denklemler üreterek denemelerde bulunmasına karşın bir sonuç üretememiştir. Günümüzde yapılan son çalışmalarda asal sayıların bir polinom denklemleri ile de üretilmeyeceği çıkmıştır. Asal sayılar hakkında daha çarpıcı bilgiler de elimizde yok değil. Bazı matematikçilerin sonsuzu düşünmesi ve sürekli bu alandan uğraş yapması özellikle 16,17,18 yy bazı matematikçilerin ruhsal problemler ile uğraşmasına neden olmuştur.

Bilgisayar bilimcilerin vazgeçemediği sayıları genellikle şifre bilimi ile uğraşanların da ortak uğraş verdiği bir alandır. Ayrıca Türk matematikçi değerli hocam Prof. Cem Yıldırım hocam bu konu ile ilgili yaptığı çalışmalar ile büyük bir ödülün de sahibi olmuştur. Ayrıca Clay Matematik Enstitüsünde bulunan bilgisayarlar ile bilinen en büyük asal sayı bulunmaya çalışılmaktadır. ABD’li matematikçi Cooper tarafından 22 milyon 338 bin 618 basamaktan oluşan yeni asal sayıyı, 31 gün aralıksız süren çalışmalar sonucu hesapladı. Central Missouri Üniversitesi Öğretim Üyesi Prof. Dr. Curtis Cooper liderliğinde yapılan çalışmada, 2 rakamının kendisiyle 74 milyon 207 bin 281 kere çarpılıp 1 eksiltilerek, “en büyük asal sayının” keşfedildiği bildirildi. En büyük Mersenne asallarının bulunması için örgütlenen “Great Internet Mersenne Prime Search” (GIMPS) projesi kapsamında hesaplanan asal sayının, 2013 yılında keşfedilen 17 milyon basamaklı sayıdan 5 milyon basamak uzun olduğu kaydedildi. Ayrıca bu sayı kağıda yazıldığında 109 km uzunluğundaymış büyüleyici!

İlginizi çekebilir:

Paylaşır mısınız?
Mushab Bedirhan Andız
Matematiğin eşsiz dünyasında kaybolmuş araştırma ve çalışmaktan büyük bir keyif alan, matematiksiz her saniyenin kendisi için kayıp bir an olduğunu düşünen matematik çalışamadığı günlerin telafisini ağlayarak affettirmeye çalışan, içindeki bu heyecanı, aşkı, tutkuyu dindirmek için yazmak zorunda kalan matematikçi...

8 Yorum

  1. katkı (2)

    asimetrik kriptoloji asal sayıları çok sever; peki neden diye soracak olursak şöylece izah etmek uygun olur:

    Bazı işlemlerin “tersleri” kendilerine göre kolaydır. Mesela 89 ile 97 yi çarpmanızı istesem biraz düşünür olmadı elinize bir kağıt kalem alır ve kısa bir süre sonra 8.633 diye cevap verirsiniz.

    Peki şimdi ilk işlemi hiç yapmadık farzediyoruz; işleme tersten gediş bakalım nedir ve nasıldır;

    8633’ü çarpanlarına ayırın desem baya baya düşünürsün
    2 ye bölmeyi denersin olmaz
    3 e bölmeyi denersin olmaz
    5 e bölmeyi denersin olmaz
    7 ye bölmeyi denersin olmaz
    11 e bölmeyi denersin olmaz
    13 e bölmeyi denersin olmaz
    17ye e bölmeyi denersin olmaz
    19 a bölmeyi denersin yine olmaz,
    sıkılmaya başlarsın ve bu nasıl bir iş dersin,
    sonra içinde bir hırs illa ki bulmak istersin ve devam edersin
    23 e bölmeyi denersin olmaz,
    29 a bölmeyi denersin olmaz,
    31 e bölmeyi denersin olmaz,
    37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 olmaz olmaz olmaz…
    sıradaki sayı 89dur ve
    bingo ilk çarpanı buldun
    ikinci çarpan ise 97…

    işte bu örnek göstermektedir ki bazı işlem bağıntılarının tersleri zorlayıcıdır bu şekildeli bağıntılarla yapılan işlemler asimetriktir. (işlemin asimetrik yansımalı giçişmeli geğişmeli simetrik birim elemanlılık gibi yapısal özellikleri ile karıştırmayın bu başka)

    İşte bu sebeple konu criptoloji olunca sifrelemenin kolay şifre çözmenin zor olması beklenir görüldüğü gibi asitmerik şifreleme buna oldukça elverişlidir.

    Dikkat ettiniz mi gerek 89, gerek 97 asal sayıdır, seçeceğimiz asallar ne kadar büyük olarsa bu şifrenin çözülmesi o kadar zor olacaktır. Demek ki asimetri de asalları seçmek şifrenin çözümünü daha zor hale getircektir.

    RSA çok meşhur asimetrik şifreleme tekniğidir ama daha birçok farklı şifreleme tekniğinin olduğunu hatta bazılarında daha özel asalların hatta bazılarında asallardan bile daha özel işlem sistemlerinin kullanıldığını** söylemekte fayda var.

    yazınız için teşekkürler Mushab Bey,

    Merak eden ve sorgulayan zihinlerin sizlerin sayesinde artık neyi niçin öğrendiklerini bilebilecekleri, çevrimiçi oldukları her anda yanlarında olan kaynakları var.

    dipnot:
    *http://paper.ijcsns.org/07_book/200901/20090158.pdf
    ** paper.ijcsns.org/07_book/200901/20090158.pdf

  2. Kriptoloji için asal sayılar oldukça önemli hatta gelinen noktada kriptoloji asal sayılar ile uğraşıyor. Ancak kriptoloji tarihinin olmazsa olmazı asal sayılardır dersek yanlış olur çünkü kriptoloji bilindiği kadarıyla 4000 yıldır hayatımızda ilk defa bir mısırlı köle katip tarafından sahibinin hayatını kaleme alırken kullanılmıştı.

    Yaklaşık olarak 4000 yıl önce başlayan bu yöntem konvansiyonel kriptolojidir ve asal sayılarla ilgisi pek de yoktur.

    Kriptolojinin bilim serüveninde asal sayıların yer alması ise asimetrik kriptoloji ile başlamıştır. asal sayılar ve modüler aritmetik asimetrik kriptolojide kullanılır. Seneler 1977’yi gösterdiğinde Rivest, Shamir ve Adleman adlı üç bilim insanı asimetrik kriptolojiyi bilim ve “ticari” alana kazandırdı. (aslında II dünya Savaşı sırasında İngilizler şifrelemede asal sayıları kullandıklarını ancak güvenlik sebebiyle bunu açıklamadıklarını 1973’de MI5 elemanı Matematikçi ve İstihbaratçı Cocks önerse maddi imkansızlıkardan ötürü hayata geçemedi ancak 1998 ‘de bu durumu MI5 açıklasa da somut dayanak olmadığı için, kriptolojideki “asal çağı”n miladını 1977 olarak kabul etmek durumundayız. RSA algoritması, Birleşik Devletlerde 1983 yılında MIT’ten patent almış, patent 21 Eylül 2000 de son bulmuştu. Gel gör ki seneler 2000i gösterdiğinde anlaşıldı ki Clifford Cocks’un yöntemiyle Rivest, Shamir ve Adleman ın RSA yöntemi neredeyse tıpatıp benzerdi ve fermatın küçük teoremine dayanıyordu; acaba hal böyleyken CIA MI5’ten casusulukla aşırdı mı diye sormadan edenimiz var mıdır )

    RSA asimetrik kriptolojide sadece bilimsel şöhret elde etmekle kalmadı, ticari anlamda çok önemli paralar kazandı ve kazandırdı özellikle bankalara, artık ceplerimizde plastik paralar [debitler(bankamatik kartları) ve kreditler (kredi kartları)] vardı ve dolayısyla şifreler şifrelerin korunaklılığının hayati önemi…

    Ticari alan diyorum çünkü telif hakları sebebiyle RSA’nın mantığından yaklaşık 16 yıldır haberdarız.

    Peki o halde kriptolojide asal sayıların gördüğü iş ne?

    Kriptolojisinin olmazsa olmazı verici tarafından oluşturulan mesajın 3. taraflar için “çözülemez karmaşıklıkta” muhattap için ise(alıcı) “çözülebilir gizlilikte” olmasıdır. Bunun için ise mesajın kapsüllenmesi (encoding) ve kapsüllenen mesajın daha sonra eski haline döndürülmesi (decoding) gereklidir. Bu dönüşüm işlemleri için gerekli ilişki (bağıntı) iyi tanımlı ve anlamlı olmalıdır zira böylece işlevsel (fonksiyonel) olmalıdır. (Anlamlılık; tanım kümesinde yer alan bir eleman söz konusu bağıntıyla görüntü kümesinin dışına çıkmamalıdır. İyi tanımlılık; tanım kümesinde yer alan bir eleman söz konusu bağıntıyla görüntü kümesinde birden çok elemana ulaşamaz.)

    Bu aşamadan sonra ise mesajın yer aldığı tanım kümesinin söz konusu iyi tanımlı ve anlamlı bağıntı işlemiyle varacağı görüntü kümesinde tersinirlenebilir olması sağlanmalıdır. Yani bağıntımız ters fonksiyon kurabilecek yapıda olmalı, görüntü kümesi tanım kümesine tanım kümesi ise görünt kümesine kapalı olmalıdır.

    Yani bu fonksiyon görüntü kümesinden de tanım kümesine dönüş sağlayabilmelidir. Ayrıca şifreleme ambalajımız kendine has bir dizilimi olan alfabe gibi olmalıdır yani modülatif sayma sıralama (modüler aritmatik) özelliği sergilemelidir.

    Peki bu durum en güvenilir olarak hangi alet çantasıyla sağlanabilir acaba? Bağıntıda kullanılacak elemanlar nasıl olmalıdır yani?

    Şimdi bir sayı düşünelim bu sayı kendisinin çarpanı olmayan bir asal sayı kadar kensisiyle çarpılmış olsun. İşte böylelikle bulduğumuz bu sayıdan düşündüğümüz o sayıyı çıkarırsak bulacağımız sonuç her zaman o seçtiğimiz asal sayımıza bölünür. (Fermatın Küçük Teoremi FKM olarak bilinir).

    FKM görüleceği gibi, iyi tanımlı ve anlamlı bir bağıntı tanımlamaktadır. Ayrıca bu tanımlama modüler aritmetik yapı da sergilemektedir.

    RSA (veya C. Cocks) bunu farkediyor iki çok büyük ve birbirine yakın asal sayı seçiyor, toitent fonksiyonu ile genel şifreleme anahtarını (o asalların birer azlarının çarpımı) oluşturuyor. Sonra bir başka asal sayı seçiyor. Artık bu asal sayı ile çarpımı genel şifreleme anahtarı modülünde (alfabesinde) 1 kalanı veren sayıyı bulma zamanı. bu sayı özel-kişisel şifreleme anahtarı oluyor ki bulunuşu için modülatif sayma sıralaması olan “uzatılmış euklides algoritması” uygulanıyor. İşte böylelikle asal sayıları ve asal sayıların sağladığı avantajı kullanarak asimetrik kriptloji yapılabiliyor.

  3. Teşekkürler, güzel bir yazı. Elinize sağlık… Şifreleme için kullanıldığını biliyordum ama bende şunu merak ediyorum; Şifrelemede nasıl ve neden kullanılıyor? Buna benzer birkaç yazı okumuştum ama çok teorik düzeyde… Bunu yerine daha basit düzeyde anlatılmasını isterdim doğrusu. Mesela konuyu bilen birisi “7” asal sayısını kullanarak basit bir şifreleme mantığı anlatsa, ve bunun yerine asal olmayan bir sayı kullanılırsa sonuç nasıl olur onu anlatsa pek bir memnun olurdum.

  4. Yazı için teşekkürler. Benim merak ettiğim konu şu. Şu kadar milyon basamaklı asal sayıyı bulunca bize faydası ne oluyor? Neden bunun araştırmasını yapıyorlar? Ne bulmayı umuyorlar. Yeni bir asal sayı bulma yöntemi mi bulmaya çalışıyorlar?

    • Asal sayıların matematikçiler için neden önemli olduğu hırs, başarma tutkusu ve tarihe adını yazmakla açıklanabilir. Günümüzde ise asal sayı devletler ve bankalar için bir güç yarışına dönmüştür. Asal sayı, şifreleme biliminin temelidir. Bir şifre de deneme yanılma yoluyla eninde sonunda çözülebilir. En büyük asal sayıyı bulma yarışı ise o asal sayı kullanılarak yapılan şifrelemeyi çözme süresini uzatmaya yaramaktadır. Mesela günümüzün bilgisayarları ile on yılda kırılabilecek bir şifre yeni nesil bilgisayarlar ile bir haftada kırılabilir. Bu yüzden bilgisayarların işlem hızı arttıkça daha büyük asal sayılar bulmak gerekmektedir.

    • @Oğuzhan Mallı, Asal sayıları doğal sayıların çarpımsal atomik parçaları olarak düşünebiliriz. Dolayısıyla ne kadar fazla asal sayı bilinirse doğal sayıların çarpımsal özelliklerine o kadar hakim olunur. Çarpma toplamanın, toplama ise saymanın kısa yolu olduğundan, çarpımsal özelliklere hakim olmak aslında doğal sayıların bir nevi inşa edilme amacı olan sayma işine hakim olmak demektir; ki bu da insanın temel bir içgüdüsünü tatmin eder.

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.