Ana Sayfa Bilim Fourier Dönüşümü, Matematik ve Böbrek Taşı

Fourier Dönüşümü, Matematik ve Böbrek Taşı

Duyduğunuz sesler – kulaklarınızın algıladığı en minimal ve maksimal sesler de dahil doğada titreşimlerin bir ürünü olarak dalgalanan ses dalgalarının kulaklarımızda bulunan salyangozda aktif hale gelmesi ile sürece girdikten sonra beyne giden sinyallerden sonra da algılama ile bitmektedir. Bu durum aslında birçok kişi için sıradan bir olaydan başka bir şey değil. Dalgalar ve titreşimler üzerine çalışan matematikçiler Fourier dönüşümleri ile çok yakından ilgilenmektedir. Bu konu analiz ve diferansiyel dallarını çalışanların göz bebeği olsa da matematikçi kimliği olan herkesin de ayrıca bildiği bir konudur.

ses dalgalarıBu fotoğrafın aslında ne anlatmak istediğini hemen ekranda beliren dalgaların matematiksel olarak okurda ne anlam ifade ettiği ile bağlantılı olacağına eminiz. Lise de öğretilen bir sin(x) fonksiyonun grafiğidir. Elimizde tuttuğumuz demir ve vida biçiminde oval yapı bir ses dalgası üretmeye yarayan yapıdır. Cihaz ise bu oluşan ses dalgalarını ekrana ileterek frekans ayarını ya da şiddetini anlamımıza yarayan iletkendir. Bu yaptığımız aslında en basit ve düzgün Fourier oluşumudur. Fakat bu böyle her zaman kolay olmamaktadır. Daha karışık dalgalar ve titreşimler için matematikçiler nasıl bir yol izliyor?

18. yy‘da Fransa devrim yapan matematikçilerden bir tanesi de hepinizin yakından tanıyacağı – en azından üniversite okurken etrafta bir yerde dedikodusunun geçtiği kişi – Joseph Fourier dalgalar kuramı ile yakından ilgilenmiş basit dalga modellerini trigonometrik fonksiyonların grafiklerine benzetmeye çalışmış, çok daha karmaşık olan diğer titreşimlerin grafiklerini parçalayarak anlamaya çalışmıştır. 100’lerce çalışmanın ardında karmaşık dalgaların modellemesinin parçalayarak daha rahat anlaşılacağını görmüştür ve ölümüne yakın zamanlarda kendi adıyla anılan “Fourier Dönüşümü” adlı makalesini yayınlamış ve resmen matematik dünyasına roket gibi girmiştir. ( Tabir de hiçbir abartı yok). Makaleyi ise önemli kılan şu açıklamadır. “Bir ses dalgasının ifadesi veya zamana bağlı olarak değişen herhangi bir sinyalin, oluşturan sinüs dalgalarının toplamı, o sinyalin Fourier dönüşümü olarak nitelendirilecektir.” Bu çok kesin bir bilgiydi ve zamanla da doğruluğu kabul edilir.

Yukarıda bir dönüşüm görüyorsunuz. F fonksiyonu zaman içinde değişir – bir ses dalgasını temsil eder. Fourier dönüşümü işlemi f’yi alır ve belirli frekanslar ve amplitüdler ile onu oluşturan sinüs dalgalarına dönüştürür. Fourier dönüşümü, frekans alanındaki sivri uçlar olarak temsil edilir; sivri uç yüksekliği, frekans dalgasının genliğini gösterir.

Bununla birlikte, bir görüntüyü değişen bir işlev olarak düşünebilirsiniz; Değişim ise zamana bağlı olarak görüntünün iki boyutlu aralığında değişir. Gri skala sayısal görüntüde, piksellerin her biri 0 ile 254 arasında bir değere sahiptir ve bu pikselin koyuluk derecesini temsil eder. O pikselin karanlığı veya yoğunluğu, o pikselin konumunu veren yatay ve dikey koordinatların bir fonksiyonudur. Görüntüyü piksel değeri ile verilen manzara yüksekliği ile dalgalı bir manzara olarak düşünebilirsiniz.

R+M-surfMesela iki araştırmacı olan matematikçilerin sağda dönüşümünü yaptım. Koyu olan yerleri siz yorumlayabilirsiniz.

Görüntüler aynı zamanda sinüs dalgaları toplamı olarak da ifade edilebilir, ancak bu kez tek boyutlu dalgalar yerine iki boyutta dalgalanan dalgalar, örneğin bir sayfadaki dalgalar gibi.

İki boyutlu sinüs dalgaları şu şekilde yazılır:

Z = a sin (hx + ky)

Burada x ve y, “tabaka” üzerindeki noktalara ait koordinatları verir; z, o noktadaki dalganın yüksekliğidir veya yoğunluğudur; a dalganın genliğini (maksimum yükseklik) verir ve h ve k, Zaman zaman dalga sırasına göre x ve y yönlerinde tekrarlanır (bunlar x ve y frekanslarıdır).

sinx-sin2y-sinx+yBirinci grafik sin(x) grafiği ikinci sin(2x) ve en sağda bulunan son grafik sin(x+y) grafiğidir. Yukarıda bahsettiğimiz değişim meselesini grafikle daha iyi sezebiliriz.

K = 0 olduğunda, sinüs dalgası yalnızca x-ekseni boyunca dalgalanır. H = 0 olduğunda, yalnızca y ekseni boyunca dalgalanır. Ancak hem k hem de h sıfırdan farklıysa, sinüs dalgası sayfanın çapraz olarak hareket eder ve dalgalar eğik h / k ile açılı yönde (dalga ceplerine dik) yönelir.

Bu dalgaları bir araya getirmek sadece her pikseldeki dalgaların ilgili değerlerini veya yüksekliklerini eklemeyi içerir. Dalgalar, o noktada daha yüksek bir değere sahip nihai bir dalga yaratmaya müdahale de edebilir.

sinx+y-5sinx-5sinyBu grafikler de yukarıda K=0 yada H=0 olayını anlamımıza yardımcı olabilir. Soldaki grafik sin(x+y), ortadaki grafik sin(x)+5sin(y) ve en sağdaki grafik 5sin(x) + sin(y) grafiğidir.

Bir görüntünün Fourier dönüşümü, görüntü fonksiyonunu (dalgalı peyzaj), oluşturan sinüs dalgalarının toplamına bölünür. Bir ses dalgasında olduğu gibi frekansa karşı Fourier dönüşümü çizilir. Fakat bu durumun aksine, frekans alanı, x ve y boyutlarındaki dalgaların h ve k frekansları için iki boyuta sahiptir. Dolayısıyla bir seri sivri uç olarak değil, orijinal görüntü ile (kabaca) piksel cinsinden aynı boyutta bir resim olarak çizilir.

Fourier Dönüşümleri tüm görüntülerin izlerini, tüm ses titreşimlerinin bir matematiksel uyarlamasıdır. Peki nerde kullanılır? Tek bir örnek ise yeter! Böbrek taşlarının kırılması için kullanılan ses titreşimleri Fourier dönüşümü ile hesaplanan ve üretilen bir titreşimdir. Hastanın taş kalınlığı ve tabakasının saptanması ile bu fonksiyonun genlik ve frekans değerleri değiştirilerek yeni bir dalga üretilir. Titreşimler böbrekte bulunan taş için uyarıcı nitelik taşır ve belli bir tedavi sürecinden sonra sağlığına kavuşur. Yaşasın Matematik!

arıcılık malzemeleri
Mushab Bedirhan Andız
Mushab Bedirhan Andız
Matematik Araştırmacısı ve Yazar

7 Yorum

  1. Emeğinize sağlık, güzel bir yazı. İzninizle, küçük bir düzeltme yapmayı öneriyorum.
    “Gri skala sayısal görüntüde, piksellerin her biri 0 ile 254 arasında bir değere sahiptir ve bu pikselin koyuluk derecesini temsil eder.” cümlesindeki 254 sayısını 255 ile değiştirmeniz doğru olacaktır. Çünkü, 8 bit (binary digit) ile temsil edilen sayılarda alınan maksimum değer 255′ dir ve bu gri görüntüler için beyaz renge karşılık gelir.

  2. Öğrenmeden önce zor olduğunu düşündüğümden dolayı çekindiğim fakat öğrenince bir o kadar zevk aldığım konu..

    • Matematiğin tamamı öyle… Ben de korkuyordum ilk gördüğümde ama şimdi içinden çıkamıyorum. Tebrik ediyorum sizi

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.

Yazar Ol arıcılık malzemeleri Proje Yönetimi

Yeni Yazılar

Giyilebilir Teknoloji Ürünleri

Teknoloji hayatımızın bir parçası olmaktan çıktı artık teknoloji hayatımız oldu. Yeni teknolojiler geliştirildikçe var olan teknolji ve teknolojik aletlerde gelişiyor ve değişiyor. Örnek olarak...

Antioksidan Nedir Görevleri Nelerdir

Canlı vücudu sürekli bir oksidatif stres altında bulunur. Oksidatif stres oksidan ve antioksidanlar arasındaki dengesizlik olarak tanımlanabilir. Bu dengesizliğe neden olan şey ise oksijenin vücutta ikiye ayrılması ve çift halde bulunamamasıdır. Bu...

Genetik Mühendisliğinin İnsanlığa Yarar ve Zararları

İnsanlığın, kalıtsal özellikleri kontrol altına alması ihtiyacından doğmuş genetik mühendisliği ilk kez 1972’de ortaya çıkmıştır ve gelişmiş ülkelerde oldukça değerli bir meslektir. Canlılarda bulunmakta...

RTX 3000 Serisi Ekran Kartlarının Başarısı

nVidia yeni nesil ekran kartlarında oldukça büyük bir başarı yakaladı. Her ne kadar ekran kartını dağıtan firmalarda bazı teknik detay sorunları yaşansa da performansın...

Mühendislik Maaşları

Mimarlık Maaşları

Bu yazımızda mimarlık maaşları hakkında bilgiler verdik. Mimarlık Türkiye’nin en önemli sektörlerinden bir tanesidir. Yeni ve eski mimarlarla beraber, doğa affetlerine dayanıklı ve uzun ömürlü...

Orman Mühendisliği Maaşları Ne Kadar

İnşaat mühendislerinin maaşları birçok farklı kritere göre değişiklik göstermektedir. Örneğin devlette mi çalışıyor yoksa özel bir şirkette mi, sahada mı yok ofis içerisinde mi...

Adli Bilişim Mühendisliği Maaşları

Adli bilişim mühendisliğinden mezun olan öğrencilerin iş olanakları fazlasıyla geniştir. Geleceğin mesleği olarak görülen bu mühendislik bölümünden henüz mezun sayısının az olması, mezun olan...

İşlem Mühendisliği Maaşları

Her şirketin kendine göre bir maaş politikası vardır. Maaş politikası belirlenirken, yazılı kanunlar, kişinin iş performansı dikkate alınır. İşlem mühendisi; hastane, banka, belediye de...