İskambil Kartları ile Matematiksel Patlama

15447
İskambil Kartları ile Matematiksel Patlama

Bir sihirbaz elindeki kartları karıştırdı ve sizden bir kart seçmenizi istedi. Karıştırılan dizili kartların içinden bir tane çektiniz. Bir müddet sonra sihirbaz elinizdeki kartı tahmin etti ve doğru bildi. Peki bu işte bir keramet var mı? Yoksa bunların hepsi matematiğin oyunu mu?

Şimdi biraz hesaplama ve olasılık yapacağız. Kartların bir destedeki olasılık tanımlarından yola çıkarak bizlere aslında birşeyler anlattığını göreceğiz. Hemen işlemleri yapacağımız şu destedeki kartları tanıyalım. Toplam 52 adet kart ve bunlar As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K ve vale, kız ve papaz olmak üzere ayrılırlar.

Rastgele bir kart seçerseniz, elde edebileceğiniz şey için 52 olasılık vardır. Yani, bir sihirbaz hangi kartı seçtiğinizi basitçe tahmin etseydi, doğru tahmin edebileceği sadece 1/52 veya % 2’den biraz daha az bir şans olurdu. Bu, işin uzmanı olmayan bir sihirbazın aynı tahmini püf noktasını yaklaşık 100 kez tekrar etmesi durumunda, yalnızca iki kez doğru tahmin etmesi beklenir. Seyirciler diğer girişimlerde başarısız olunacağından dolayı oldukça hayal kırıklığına uğrayacaktır!

İki kartın doğru tahmin edilmesi ihtimali nedir? İlk kartı tahmin etmenin şansı 1/52, gördüğümüz gibi. Ardından, ilk kart alındığında, ikinci tahmin için yalnızca 51 kart kaldı. Dolayısıyla, ikinci kartı doğru şekilde tahmin etme ihtimali 1/51 ‘dir. Dolayısıyla, sırayla iki kartın doğru tahmin edilmesinin olasılığı şöyledir:

1/52 x 1/51 = 1/2652 ≈ 0.0004,

Dolayısıyla iki kartın doğru olarak tahmin edilmesi çok daha etkileyici bir hiledir.

Çoğaltma ilkesi budur: İki bağımsız olay olasılığı (iki kartın doğru tahmin edilmesi) iki ayrı olasılığın çarpımıdır.

1/52 x 1/51 x 1/50 = 1/132600 ≈ 000000.8

Bu yukarıdaki hesap okurun hemen anlayacağı gibi 3 kartın artarda bilme olasılığıdır. Şayet bunu yapan bir sihirbaz varsa eğer ona Nobel ödülü derhal verilmelidir.

Çarpma işlemi dediğimiz olay bize bir takım geri sayma olasılıklarını verir. Üç kart seçerken ilk kart için 52, bir kartı seçtikten sonra 51, diğer seçilen iki kart için 50 ve bu şekilde devam eden bir matematiksel kural tanımlar. Bunu Olasılık dersleri alan okurun bildiğini varsayıyorum.

1/52 x 1/51 x 1/50.

Şimdi bütün bir kart desteniz olduğunu düşünün. Destedeki kartları alın ve birkaç kez karıştırın (birkaç kez “üç kez” kabul edilebilir). Önünüzde tutun ve kendinize şu soruyu sorun: Bu kartların her birini bir sipariş olarak düşünseniz ve siparişleri gözünüz kapalı bir mekana doğru götürme olasılığınız nasıl olurdu.

Ne yazık ki, cevabı garanti edebilmenin hiçbir yolu yok. Bununla birlikte, ihtimal hiç olmadığı kadar uzun bir dizinin elinizin altında olmasıdır. Oldukça şaşırtıcı ha? Bunu nasıl söyleyebiliriz?

Öncelikle, üç kart kombinasyonunun olduğunu hesaplamak için kullandığımız tekniği düşünün. Kartlar için bir dizi 52 noktayı doldurmak için 52 kart var. Birinci nokta için 52 olasılık, ikinci için 51 (ilk nokta dolduğunda) vb. Olabilir. Dolayısıyla toplam sayı şöyledir:

52 x 51 x 50 x 49 … x 2 x 1 = 8.07 x 10^67

Bu numarayı tam olarak yazacak olursak, 68 basamaklı olurdu. Bu nedenle, karıştırmanızla ürettiğiniz siparişin üretilmesi şansıdır.

1/(8.07 x 10^67).

Bu inanılmaz küçük bir olasılık. Ne kadar küçük olduğunu göstermek için, kendi metaforuzu yapalım. Big Bang teorisine göre, tüm Evren yaklaşık 13.7 milyar yıl önce yaratılmıştır. Ayrıca şu an itibariyle Dünya nüfusu 7,5 milyar kişidir. Şimdi, hepimiz sonsuza kadar yaşayan 10 milyar insanla paralel bir dünya hayal edelim. Her bir kişiye bir kart döşeyin (kişinin yeni doğan ya da yaşlı olduğu önemli değildir) ve önümüzdeki 14 milyar yıl boyunca saniyede bir kez karıştırmasını isteyin. Ayrıca, her yıl bir sıçrama yılı (366 gün) olduğunu düşünün.

dünyaAyrıca, her karışıklık için tamamen yeni bir kart dizisi oluşturulduğunu varsayalım. Bu süreçte kaç tane yeni kombinasyon oluşturuldu? Sorunu adım adım anlayalım. Birinci saniyenin ardından 10 milyar (1010) yeni kombinasyon olacak: karıştıran 10 milyar insanın her biri için bir tane. İlk dakikadan sonra, 10 milyar kez 60 yeni kombinasyon olacaktır, yani 1010 x 60 = 6 x 1011’dir. Sorunu adım adım anlayalım. Birinci saniyenin ardından 10 milyar (1010) yeni kombinasyon olacak: karıştıran 10 milyar insanın her biri için bir tane. İlk dakikadan sonra, 10 milyar kez 60 yeni kombinasyon olacaktır, yani 10^10 x 60 = 6 x 10^11’dir. Bunun gibi devam edebiliriz: Ancak bu sayı muhtemel kart dizilerinin yüzde 1’inin milyarda bir milyarda bir milyarda birinin milyarda birinden daha az,( söyleyemedim maalesef )yani her bir birey için 52 x 51 x 49 x … x 2 x 1’dir. Böylece 14 milyar yıl süren karıştırma sonrasında bile, Paralel dünyamız sadece mümkün olan tüm kart kombinasyonlarının küçük bir kısmını üretmiş olurdu!

Yazımızı Beğendiniz mi?
Mushab Bedirhan Andız

Matematiğin eşsiz dünyasında kaybolmuş araştırma ve çalışmaktan büyük bir keyif alan, matematiksiz her saniyenin kendisi için kayıp bir an olduğunu düşünen matematik çalışamadığı günlerin telafisini ağlayarak affettirmeye çalışan, içindeki bu heyecanı, aşkı, tutkuyu dindirmek için yazmak zorunda kalan matematikçi…

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.