Ana Sayfa Matematik Königsberg Köprüsü

Königsberg Köprüsü

Matematiğin önemli dallarından bir tanesi de topolojidir. Topoloji nesneleri yırtmadan kesmeden farklı farklı nesnelere dönüştürme işidir. 19 yy. temelleri atılsa da 20 yy. da bu alanda önemli çalışmalar yapılmış ve sağlam temellere oturtulmuştur. Topolojinin en kolay tarifi ise genelde matematikçiler tarafından “lastik geometri” olarak nitelendirilmektedir. Aşağıda bahsedeceğimiz problemler her tarafta bilinen problemlerdir. Bu yazıyla hem topolojiye giriş yapıp yeni nesneler yapacağız. Königsberg köprüsü problemi ile aslında topoloji başlamıştır.

Köningsberg Eskiden Rusya’ya bağlı olmasına rağmen şimdi Almanya sınırları içerisinde bulunan bir kenttir. Fakat Königsberg bir ırmak üzerinde iki adadan oluşuyordu. Bu adalar ise birbirine yollar ile bağlıydı. Adalardan biri ırmağın iki kıyısına ikişer köprü; diğeri de birer köprü ile bağlanmıştır. Ayrıca iki adasında bir köprü vardır. Kentteki insanlar pazar günleri her köprüden yalnızca bir kez geçerek tüm köprülerden geçmeye çalışıyorlardı.

Bu gelenekselleşmiş olay Leonhard Euler’ın kulağına gider. Kimse tek seferde geçemediği için insanların kafasında hep bir merak konusu olmuştu. Euler işte bu problemin çözümüne uğraşırken aynı zamanda şimdiki Graf – Çizgeler Kuramının temelini atmıştır. Grafları kullanarak her köprüden bir kere geçmenin imkansız olduğunu gösterdi. Çözümün ardından Euler, “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” isimli makaleyi yayımlamıştır.

Peki böyle bir gezinme nasıl mümkündür? Euler yazdığı makalede bu şekilde bir gezinti için graf düğümleri için bir kaç özellik vermiştir. Bunlar;

  • Birleşik bir grafın bütün elemanlarını bir ve yalnız bir defa kullanarak dolaşmak için o grafın tek dereceli düğümlerinin sayısı eğer varsa iki olmalıdır.
  • Tek dereceli düğümler dolaşmanın başlangıç ve bitiş düğümleridir. Grafta böyle düğümler yoksa dolaşmaya herhangi bir düğümden başlanabilir.

königsberg köprüsü problemi çözümüMatematiksel Yaklaşımı Nasıl Yapacağız.

Tanım. Birbirine bağlı eğriler veya doğrular (edges) ile noktalardan (vertices) oluşan şekle bir grafik denir.

Şimdi problem, bir çizgiden bir daha geçmeksizin ve kalemi kağıttan kaldırmaksızın bu şekli çizme problemine dönüşmüş olur.

Tanım. Eğer bir grafikte bir noktaya tek sayıda eğri bağlı ise bu noktaya tek mertebeden bir nokta denir aksi takdirde çift mertebeden nokta denir. Bu tanımları yapmazsak olmazdı.

Euler’in Königsberg köprüleri probleminin çözümünde grafiği çizerken işlemin ortasında bir noktaya gelindiğinde bu noktaya bir tane gelen bir tane de bu noktadan giden eğri olmalı böylece noktanın mertebesi çift olmalıdır. Bu bütün noktalar için doğru olmalı fakat biri çizime başladığımız diğeri de çizimi bitirdiğimiz nokta olmak üzere iki nokta dışında her noktanın mertebesi çift olmalıdır ve böylece ilgili grafiğin çizilebilir olması için gerek ve yeter koşul en fazla iki tane tek mertebeden noktasının olmasıdır. (Başlangıç ve bitiş noktasının aynı olabilir ki bu durumda her noktanın mertebesinin çift olması gerekiyor.) Şimdi yukarıdaki grafiğe baktığımızda ikiden fazla tek mertebeden nokta olduğunu görüyoruz ve böylece grafik çizilemez yani Königsberg deki yürüyüş turu imkansızdır. Burada çizimden kastımız bir çizgi ya da kenardan (veya eğri parçasından) bir daha geçmeksizin çizimin yapılması anlamındadır. Eulerin düşüncesi çözülebilir olan problemlerde başlangıç noktası tek ve bitiş noktasının tek mertebeden olması gerektiğini vermektedir.

En üsteki grafda her noktanın mertebesi yanında yazılı bulunmaktadır. Şekilde Königsberg köprüleri probleminde her bir noktanın mertebesini görmekteyiz.

Königsberg’de aşağıdaki şekilde olduğu gibi bir tane fazla köprü yapıldığını yani sekiz tane köprü kurulduğunu varsayalım. Bu durumda bir köprüden (çizgiden) bir daha geçmeden bütün köprülerden geçilebilir mi? Evet geçilebilir.

Königsberg Köprüsü nedir

arıcılık malzemeleri
Mushab Bedirhan Andız
Mushab Bedirhan Andız
Matematik Araştırmacısı ve Yazar
Önceki İçerikGrafenin Özellikleri
Sonraki İçerikYanan Buz – Metan Hidrat

6 Yorum

  1. Königsberg, eskiden Prusya’da iken şimdi Rusya’da dır (Kaliningrad). Giriş yazısında yanlış yazılmış.

    • Hakan Bey, yazımı beğendiğniz için teşekkür ederim bu beğeni yazının değil sizin beyninizin güzelliği
      Matematik ile kalın

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.

Yazar Ol arıcılık malzemeleri

Yeni Yazılar

İş Sağlığı ve Güvenliği Işığında Koronavirüs (COVID-19)

Koronavirüs, ilk olarak 1 Aralık 2019 da sessiz bir şekilde Çin'in Vuhan şehrinde ortaya çıktı. Bir kısım hastaların zatürre tedavisine cevap vermemesi üzerine salgın...

Robotik Kodlama Nasıl Yapılır

Robotik kodlama; bir robotun ya da bilgisayar programının okuyabileceği ve hayata geçirebileceği yazılı talimatlardır. Robotlar aracılığıyla yapılması istenen görevi belirlemeli, gerçekleşmesi için kodu yazmalı...

Bir Yıl Önceki FBI Raporu İnfial Yarattı! “Çin Virüsü”

Çin, corona virüsü salgınının politize edilmesini ve "Çin virüsü" olarak adlandırılmasını eleştirirken orataya çıkan bir belge dünya gündemine oturdu. Bundan tam bir yıl öncesine...

Klima Sistemleri Nasıl Çalışır

Klimanın Tarihi: Willis Haviland Carrier başarılı bir mühendisti. 1901 Yılında Cornell Üniversitesi elektrik mühendisliği bölümünden mezun olduktan sonra Buffalo Forge Company firmasında çalışmaya başladı....

Mühendislik Maaşları

Gemi İnşaatı Mühendisliği Maaşları

Gemi inşaatı mühendisliği nedir? Gemi inşaatı mühendisleri, her türden askeri, sivil deniz araçlarını ve araçlara ait makineleri, bunlara bağlı olan diğer tüm ekipmanları tasarlayan, planlayan...

Harita Mühendisliği Maaşları

Ülkemizin en çok tercih edilen mühendislik dallarından biri olan harita mühendisliği önü açık ve geleceği parlak bir meslek olarak tanımlanmaktadır. Bu yazımızda harita mühendisliği...

Orman Mühendisliği‎ Maaşları

İnşaat mühendislerinin maaşları birçok farklı kritere göre değişiklik göstermektedir. Örneğin devlette mi çalışıyor yoksa özel bir şirkette mi, sahada mı yok ofis içerisinde mi...

Genetik Mühendisliği Maaşları

Bu yazımda genetik mühendisliği maaşları hakkında bilgi vereceğim. Yorum kısmında diğer yorumları görebilirsiniz. Dünya genelinde genetik mühendisliği çok revaçta olan meslek gruplarından biridir. Ülkemizde...