Matematikte Temel Ispat Yöntemleri

5
10078
Matematikte Temel ispat Yöntemleri

Merhaba arkadaşlar, bu yazımda sizlere matematikte temel ispat yöntemleri ve konuyu daha iyi anlamanız için bir kaç basit örnek vereceğim. Bu konu MEB müfredatında olup bizlere lisede verilse de, ne müfredatın geniş yer verdiği bir konudur ne de öğretmenlerin üstünde durabildiği bir konudur. Bir öğrenci üniversiteyi kazanıp gittiğinde ispat yöntemlerinden yoksun ve hatta birçoğundan habersizdir. Maalesef bizim müfredatımız o kadar çöplük içerir ki , hem bu bilimden soğutur insanı hem de bu bilime eksik yetiştirir. Limit, türev, integral gibi öğrencinin ne yaptığını anlamadığı konuları diretip üzerinden üniversite sınavında belirleyicilik koymak bence haksızlıktır. Cahil bir öğrenci yetiştirmektir. Bir öğrenci x^2’nin integralini neden aldığını bilmiyorsa , bildirilmiyorsa, kanaatimce bırakın integral yapamasın! Lisede verilen ( aceleci bir şekilde) bu konuların üniversiteye hazırlık olduğu tamamen bir safsatadır. İstenilse lisede görülen integral, üniversitede 1 haftanı almaz ve en azından ne yaptığını bilirsin. Üniversite sınavlarında birinci gelen arkadaşlar eminim ki ispat yöntemlerinden bihaberdir ve birçok şeyi iyi yapmalarına rağmen neden yaptıklarını bilmezler. Sistem hatasından dolayıda bilimde çok geriyiz. Helede matematikte Dünya da sondan ikinci bir milletiz.

Matematikte Temel Ispat Yöntemleri Nelerdir

matematikte temel ispat yöntemleri

Matematikte temel ıspat yöntemlerinden devam edelim. Anlaşılır ve kısa bir şekilde anlatmaya çalışacağım.
Evet arkadaşlar, “Doğrudan İspat Yöntemi” ile başlayalım. Bu yöntem temel ispat yöntemleri arasında en basiti olarak görülür. Yönteme göre eğer bir ifadenin doğru olduğunu göstermek istiyorsan, kesinlikle ve kesinlikle direk olarak, doğruluğu onanmış başka belitlerle (aksiyomlarla) türetmelisin. Tabi ki türetmek için işlemler mantık çerçevesinde olmalıdır. Olaya felsefi açıdanda bakabiliriz.
-Hayat acıdır.
-Biber acıdır.
-O halde hayat bir biberdir.
Çıkarımını elde edebiliriz.
Olaya birde matematiksel yönden bakalım.
Teorem: İki tane tek sayının toplamı çifttir.
İspat: m ve n sayılarımız olsun.
m=2a+1
n= 2b+1 olsun.
Bunları toplarsak,
m+n= 2a + 2b + 2 olur. Toparlarsak, 2( a+b+1) olur. (a+b+1)=k dersek; m+n= 2k olduğunu görür ve teoremi ispatlamış oluruz. (Not: Tek sayıyı (2x+1) formatında ifade edebiliyorduk)

Diğer ispat yöntemimiz olan “Olmayana Ergi Yöntemi” n den devam edelim.
Bu yönteme göre ispatlamak istediğimiz teoremin yanlış olduğunu düşünerek işe başlıyoruz. Ve eğer yanlış olduğunu düşünerek yola devam ettiğimizde bir yanlışlık görüyorsanız aslında teoremin doğruluğunu ispatlamış oluyorsunuzdur.
Çok ünlü bir teoremin ispatını örnek olarak verelim,
Teorem: Sonsuz tane asal sayı vardır.
İspat: Düşünelim ki sonlu tane asal sayı vardır.
2,3,5,7,11,13,…,m
Şimdi bu asalların hepsini çarpıp 1 ekleyelim,
K= (2.3.5.7.11. … .m) + 1
Görüldüğü üzere tüm asallardan büyük bir sayı elde ettik. Şimdi bu K sayısının asal sayı olmadığını düşünelim. Yani bu bir bileşik sayı ve bileşik sayıların özelliğine göre sayının kendisinden ve 1 den farklı bir böleni mevcuttur. Ama K sayısını hangi sayıya bölersen böl yinede 1 kalanını elde edeceksin yani tam bir bölünme gerçekleştiremeyeceksin. Öyleyse K’nın 1 den ve kendinden başka bir böleni yoktur. Yani K bir asal sayıdır. Bir çelişki oluştu ve teorem çok şık ve basit bir şekilde ispatlanmış oldu.

Şimdi ise üçüncü ispat yöntemimiz olan “Tümevarım Yöntemi” ni ele alalım.
Bu yöntemde oldukça basittir. Verilen bir ifadenin tüm doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılır. Yani ifadenin nerede doğruluğu başlıyorsa o doğal sayı için (biz buna 1 diyelim) doğruluk gösterilir. Sonra herhangibir sayıda(n sayısı) doğruluk gösterilir. Ve en son olarak (n+1) içinde ifade doğruysa teorem ispatlanmış olur.
Örnek verecek olursak,
Teorem: 1+2+3+4+…+n= n.(n+1)/2
İspat: Öncelikle 1 sayısında doğruluğunu ispatlayalım.
1.(1+1)/2=2/2=1
1 den 1 e kadar olan sayıların toplamı 1 olduğundan ilk adımımız başarılı.
n için kabulümüz ; n.(n+1)/2 olsun, o halde bu ifadenin (n+1) için doğruluğunu ispatlayalım.
1+2+3+4+…+n+(n+1)= n.(n+1)/2 + (n+1) eşitliğin her iki tarafına (n+1) ekledik . Ve işlemi devam ettirelim,
=(n(n+1) + 2(n+1))/2 = (n^2 + 3n + 2)/2 = (n+1) . ( n+ 2) / 2
Teoremde (n+1) i direk yerine koyduğumuzda da (n+1) . (n+2) / 2 formülünü elde edeceğimiz için teoremimiz çok şık bir biçimde ispatlanmış oldu.

Şimdi ise son ispat yöntemimiz olan “Ters Durum Yöntemi” ni açıklayalım.
Bu yöntemi anlatırken önermelerden yararlanmak istiyorum. Yönteme göre kısaca p ise q yu göstermek yerine q değil ise p ninde olmayacağını gösterirsek ispatın kolaylaşacağı öngörülür. ( Tabi ki bazı teoremlerde kolaylık sağlar)
Bir örnekle daha da şekillenecektir.
Teprem: Karesi çift ise bir sayının, kendiside çifttir.
İspat: Karesi çift olan kısma p , kendiside çift olan kısma q diyelim. ( sayımızda m olsun)
Yukarıdaki açıklamaya göre yeni ifademiz q değil ise p ninde olmayacağıdır. Yani sözel ifade edecek olursak “m sayısı tek ise kareside tektir” ifadesini elde ederiz. Matematiksel ispata geçelim.
m= 2k+1 şeklinde ifade edelim ve karesini alalım,
m^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1 olur. (k^2 + k) bir tamsayı olacağından buna a dersek,
m^2 = 2.2a+1 olur.
2a ifadesinede z dersek ,
m^2= 2z+1 olur ve tek sayılardaki doğruluğu göstermiş olup teoremimizi ispatlamış oluruz.

Arkadaşlar, matematikteki 4 temel ispat yöntemini vermiş bulunmaktayım. Daha aydın gelecekler için , işe yaramaz gibi görünen şeyleri hemen kestirip atmayalım. Bazen işe yarar gibi görünen şeyler sizi yarı yolda bırakabilir. Bu hayat bizlere armağandır. Ve bizlerin önemsenmeyeni önemsememe gibi bir lüksümüz yoktur!
Umarım faydalı bir yazı olmuştur.

Okuyan gözlerinize sağlık…

Paylaşır mısınız?
Önceki İçerikWankel Motor Nedir
Sonraki İçerikSıralama Algoritmaları Merge Sort
Muhammed Işci
Merhabalar. Ben Muhammed İŞCİ. Mühendis Beyinler sitesinde yazarım. Konularımı genellikle Matematik ile ilgili seçmekteyim. 1995 doğumlu olup 2013 yılında Kayseri Lisesi'nin, nam-ı diğer Taş Mektebin 120. yılı mezunlarındanım. Aynı yıl içerisinde de Erciyes Üniversitesi Mekatronik Mühendisliğini kazanmış bulunmakla birlikte burada öğrenimime devam etmekteyim. Amacım: Bilime aç bir gelecek inşa etmek. Amatör Matematikçiden Sevgilerle...

5 Yorum

  1. Helal olsun kardesim. Bunlari bilip insanlari aydinlatman cok guzel olmus. Ben lise mat. Ogretmenligi okuyorum oylesine bi bakayim dedim ve bu yazini gorunce helal olsun dedim. Basarilarinin devamini dilerim Aeo.

  2. Üniversite mat dersinde tanistiğim ve bunlarin hic biri anlatilmadan yapilan dersler sayesinde matematikden gene sogudum artik kazandigim bilg muh bolm birakmayi bile dusunuyorum adam olmassin turkiye

  3. sana katılıyorum neden hepsini çarpıp 1 eklediniz ve neden asal olmayan sayı bileşik olmakta lütfen cevaplayın birde reel sayıların sayılamaz olduğunu hangi yöntemle ispatlayabilirim ?

  4. Merhaba, ben lisede okuyorum. Dediğiniz gibi konunun üzerinde durulmadı, bende internette bilgi avına çıktım :D Olmayana ergi yönteminde ispat yaparken neden asal sayıları çarpıp bir eklediniz? O şekilde yapılmasının sebebini anlamadım. Lütfen açıklayabilir misiniz? Teşekkür ederim.

    • +1 eklemesini sebebi. tüm tam sayilarin asal sayilarin carpimi seklinde yazilabilecegi.yani k sayini neye bolerseniz bolun,asal kisim hep tam bolunucektir ama +1 lik kisim hep kalan getireceginden k sayisi da bir asal sayidir. ve buda bizim önee surdugumuz. asal sayilar sonludur ve son asal sayi m dir ilkesini bozar.

Düşünceleriniz Nedir?