Vektörlerin Skaler Çarpımı Nasıl Yapılır

0
4730
vektörlerin skaler çarpımı nasıl olacak

Kuvvet ve yerdeğiştirme vektörlerinin eşitlik 1 şeklindeki yazılışı, vektörlerin skaler çarpımı olarak adlandırılan uygun bir matematik araç kullanmanın yararlı olacağını söyler. Bu araç, F ve d nin ne kadar birbirine paralel oluşuna bağlı olacak ve nasıl etkileştiğini gösterecektir. Bu skaler çarpımı F.d olarak yazarız. (Kullanı­lan nokta simgesinden dolayı, skaler çarpıma genellikle nokta çarpım da de­nir.) Bu durumda, 1 Eşitliğini bir skaler çarpım olarak ifade edebiliriz:

W = FdcosΘ ( Eşitlik 1)

W= F.d = FdcosΘ (Eşitlik 2)

Başka bir deyişle F.d  (“ F nokta d ” olarak okunur) FdcosΘ ’nın kısaltılmış bir gösterimidir.

Genel olarak A ve B gibi herhangi vektörlerin skaler çarpımı, iki vektörün büyüklükleri ile bunların arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit olan skaler bir niceliktir:

A.B = ABcosΘ (Eşitlik 3)

Bu bağıntı Şekil 1’de gösterilmiştir. A ve B nin aynı birimlere sahip olması gerekmediğine dikkat ediniz.

vektörlerin skaler çarpımı ile ilgili örnek
Şekil 1

Şekil 1 ‘de BcosΘ, B’nin A üzerindeki izdüşümüdür. O halde 3. Eşitliğe göre A.B, A ‘nın büyüklüğüyle, B nin A üzerindeki izdüşümünün çarpı­mını ifade eder.

3 Eşitliğinin sağ tarafından, aynı zamanda skaler çarpımın yerdeğiştirebilir (komutatif) olduğunuda görüyoruz. Yani,

A.B = B.A

dır.

Son olarak vektörlerin skaler çarpımı,

A.(B + C) = A.B + A.C

olacak şekilde çarpmanın dağılma yasasına da uyar.

A, B’ye dik veya paralel olduğunda, 3 Eşitliğinden nokta çarpımı hesap­lamak kolaydır. A, B’ye dikse (Θ = 90°), A.B = 0 olur. (A.B = 0 eşitliği aynı za­manda A, ya da B nin sıfır olması durumunda da sağlanacağı açıktır.) A vek­törü, B vektörüne paralel ve aynı yönlü iseler A.B = AB dir. A vektörü B vektö­rüne paralel fakat ters yönlü iseler (Θ = 180°), A.B = – ABdir. 90° < 0 < 180° ol­duğunda skaler çarpım negatiftir.

i, j, k birim vektörleri, bir sağ koordinat sistemi­nin sırasıyla pozitif x,y ve z eksenlerinde yeralır. Dolayısıyla A.B nin tanımın­dan bu birim vektörlerin skaler çarpımları

i.i = j.j = k.k = 1 (Eşitlik 4)

i.j = i.k = j.k = 0 (Eşitlik 5)

dir. A ve B vektörlerinin, bileşenleri cinsinden

A = Axj + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

biçiminde de ifade edilebileceğini söyler. 4 ve 5 Eşitliklerinde verilen bil­gi, A ile B nin skaler çarpımının

A.B = AxBx + AyBy + AzBz

ya indirgenebileceğim gösterir. A = B olan özel durumda

A.A = Ax2 + Ay2 + Az2 = A2

olacağı anlaşılır.

Vektörlerin Skaler Çarpımı İle İlgili Örnek

Örnek: A ve B vektörleri, A = 2i + 3j ve B = – i + 2j olarak veriliyor,

(a) A.B skaler çarpımını hesaplayınız.

(b) A ile B arasındaki Θ açısını bulunuz.

Çözüm:

(a) A.B = (2i + 3j).(-i + 2j)

=- 2i.i + 2i.2j – 3j.i + 3j.2j

= -2(1) + 4(0) – 3(0) + 6(1)

= – 2 + 6 = 4

Burada i.i = j.j = 1 ve i.j = j.i = 0 olduğu gerçeğini kullandık. 7.9 Eşitliğini kullandığımızda aynı sonuç elde edilir. Burada Ax = 2, Ay = 3, Bx = – 1 ve By = 2 dir.

(b) A ve B nin büyüklükleri şöyledir:

vektörlerin skaler çarpımı

3.Eşitliğe ve (a) şıkkının sonucunu kullanarak

vektörlerin skaler çarpımı nasıl yapılır

buluruz.

Düşünceleriniz Nedir?