Vektörlerin Skaler Çarpımı Nasıl Yapılır

19968
vektörlerin skaler çarpımı nasıl olacak

Kuvvet ve yerdeğiştirme vektörlerinin eşitlik 1 şeklindeki yazılışı, vektörlerin skaler çarpımı olarak adlandırılan uygun bir matematik araç kullanmanın yararlı olacağını söyler. Bu araç, F ve d nin ne kadar birbirine paralel oluşuna bağlı olacak ve nasıl etkileştiğini gösterecektir. Bu skaler çarpımı F.d olarak yazarız. (Kullanı­lan nokta simgesinden dolayı, skaler çarpıma genellikle nokta çarpım da de­nir.) Bu durumda, 1 Eşitliğini bir skaler çarpım olarak ifade edebiliriz:

W = FdcosΘ ( Eşitlik 1)

W= F.d = FdcosΘ (Eşitlik 2)

Başka bir deyişle F.d  (“ F nokta d ” olarak okunur) FdcosΘ ’nın kısaltılmış bir gösterimidir.

Genel olarak A ve B gibi herhangi vektörlerin skaler çarpımı, iki vektörün büyüklükleri ile bunların arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit olan skaler bir niceliktir:

A.B = ABcosΘ (Eşitlik 3)

Bu bağıntı Şekil 1’de gösterilmiştir. A ve B nin aynı birimlere sahip olması gerekmediğine dikkat ediniz.

vektörlerin skaler çarpımı ile ilgili örnek
Şekil 1

Şekil 1 ‘de BcosΘ, B’nin A üzerindeki izdüşümüdür. O halde 3. Eşitliğe göre A.B, A ‘nın büyüklüğüyle, B nin A üzerindeki izdüşümünün çarpı­mını ifade eder.

3 Eşitliğinin sağ tarafından, aynı zamanda skaler çarpımın yerdeğiştirebilir (komutatif) olduğunuda görüyoruz. Yani,

A.B = B.A

dır.

Son olarak vektörlerin skaler çarpımı,

A.(B + C) = A.B + A.C

olacak şekilde çarpmanın dağılma yasasına da uyar.

A, B’ye dik veya paralel olduğunda, 3 Eşitliğinden nokta çarpımı hesap­lamak kolaydır. A, B’ye dikse (Θ = 90°), A.B = 0 olur. (A.B = 0 eşitliği aynı za­manda A, ya da B nin sıfır olması durumunda da sağlanacağı açıktır.) A vek­törü, B vektörüne paralel ve aynı yönlü iseler A.B = AB dir. A vektörü B vektö­rüne paralel fakat ters yönlü iseler (Θ = 180°), A.B = – ABdir. 90° < 0 < 180° ol­duğunda skaler çarpım negatiftir.

i, j, k birim vektörleri, bir sağ koordinat sistemi­nin sırasıyla pozitif x,y ve z eksenlerinde yeralır. Dolayısıyla A.B nin tanımın­dan bu birim vektörlerin skaler çarpımları

i.i = j.j = k.k = 1 (Eşitlik 4)

i.j = i.k = j.k = 0 (Eşitlik 5)

dir. A ve B vektörlerinin, bileşenleri cinsinden

A = Axj + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

biçiminde de ifade edilebileceğini söyler. 4 ve 5 Eşitliklerinde verilen bil­gi, A ile B nin skaler çarpımının

A.B = AxBx + AyBy + AzBz

ya indirgenebileceğim gösterir. A = B olan özel durumda

A.A = Ax2 + Ay2 + Az2 = A2

olacağı anlaşılır.

Vektörlerin Skaler Çarpımı İle İlgili Örnek

Örnek: A ve B vektörleri, A = 2i + 3j ve B = – i + 2j olarak veriliyor,

(a) A.B skaler çarpımını hesaplayınız.

(b) A ile B arasındaki Θ açısını bulunuz.

Çözüm:

(a) A.B = (2i + 3j).(-i + 2j)

=- 2i.i + 2i.2j – 3j.i + 3j.2j

= -2(1) + 4(0) – 3(0) + 6(1)

= – 2 + 6 = 4

Burada i.i = j.j = 1 ve i.j = j.i = 0 olduğu gerçeğini kullandık. 7.9 Eşitliğini kullandığımızda aynı sonuç elde edilir. Burada Ax = 2, Ay = 3, Bx = – 1 ve By = 2 dir.

(b) A ve B nin büyüklükleri şöyledir:

vektörlerin skaler çarpımı

3.Eşitliğe ve (a) şıkkının sonucunu kullanarak

vektörlerin skaler çarpımı nasıl yapılır

buluruz.

Kaynakserway
Yazımızı Beğendiniz mi?
Taner Hayret

Merhaba ben Taner Hayret, bir süre Türkiye de Elektrik ve Elektronik Mühendisliği üzerine eğitim aldıktan sonra, hayat serüvenime yurt dışında Nükleer Enerji Mühendisliği üzerine devam ettirmeye karar verdim. Burada sizlerle bilim adına tecrübelerimi paylaşacağım.

1 Yorum

  1. abi sen yurtdışındasın hazır elin değmişken cern de en basit olarak kullanılan formülleri ve denklemleri araştırıp bulsan çok iyi olur…

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.