Ana Sayfa Fizik Vektörlerin Skaler Çarpımı Nasıl Yapılır

Vektörlerin Skaler Çarpımı Nasıl Yapılır

Kuvvet ve yerdeğiştirme vektörlerinin eşitlik 1 şeklindeki yazılışı, vektörlerin skaler çarpımı olarak adlandırılan uygun bir matematik araç kullanmanın yararlı olacağını söyler. Bu araç, F ve d nin ne kadar birbirine paralel oluşuna bağlı olacak ve nasıl etkileştiğini gösterecektir. Bu skaler çarpımı F.d olarak yazarız. (Kullanı­lan nokta simgesinden dolayı, skaler çarpıma genellikle nokta çarpım da de­nir.) Bu durumda, 1 Eşitliğini bir skaler çarpım olarak ifade edebiliriz:

W = FdcosΘ ( Eşitlik 1)

W= F.d = FdcosΘ (Eşitlik 2)

Başka bir deyişle F.d  (“ F nokta d ” olarak okunur) FdcosΘ ’nın kısaltılmış bir gösterimidir.

Genel olarak A ve B gibi herhangi vektörlerin skaler çarpımı, iki vektörün büyüklükleri ile bunların arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit olan skaler bir niceliktir:

A.B = ABcosΘ (Eşitlik 3)

Bu bağıntı Şekil 1’de gösterilmiştir. A ve B nin aynı birimlere sahip olması gerekmediğine dikkat ediniz.

vektörlerin skaler çarpımı ile ilgili örnek
Şekil 1

Şekil 1 ‘de BcosΘ, B’nin A üzerindeki izdüşümüdür. O halde 3. Eşitliğe göre A.B, A ‘nın büyüklüğüyle, B nin A üzerindeki izdüşümünün çarpı­mını ifade eder.

3 Eşitliğinin sağ tarafından, aynı zamanda skaler çarpımın yerdeğiştirebilir (komutatif) olduğunuda görüyoruz. Yani,

A.B = B.A

dır.

Son olarak vektörlerin skaler çarpımı,

A.(B + C) = A.B + A.C

olacak şekilde çarpmanın dağılma yasasına da uyar.

A, B’ye dik veya paralel olduğunda, 3 Eşitliğinden nokta çarpımı hesap­lamak kolaydır. A, B’ye dikse (Θ = 90°), A.B = 0 olur. (A.B = 0 eşitliği aynı za­manda A, ya da B nin sıfır olması durumunda da sağlanacağı açıktır.) A vek­törü, B vektörüne paralel ve aynı yönlü iseler A.B = AB dir. A vektörü B vektö­rüne paralel fakat ters yönlü iseler (Θ = 180°), A.B = – ABdir. 90° < 0 < 180° ol­duğunda skaler çarpım negatiftir.

i, j, k birim vektörleri, bir sağ koordinat sistemi­nin sırasıyla pozitif x,y ve z eksenlerinde yeralır. Dolayısıyla A.B nin tanımın­dan bu birim vektörlerin skaler çarpımları

i.i = j.j = k.k = 1 (Eşitlik 4)

i.j = i.k = j.k = 0 (Eşitlik 5)

dir. A ve B vektörlerinin, bileşenleri cinsinden

A = Axj + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

biçiminde de ifade edilebileceğini söyler. 4 ve 5 Eşitliklerinde verilen bil­gi, A ile B nin skaler çarpımının

A.B = AxBx + AyBy + AzBz

ya indirgenebileceğim gösterir. A = B olan özel durumda

A.A = Ax2 + Ay2 + Az2 = A2

olacağı anlaşılır.

Vektörlerin Skaler Çarpımı İle İlgili Örnek

Örnek: A ve B vektörleri, A = 2i + 3j ve B = – i + 2j olarak veriliyor,

(a) A.B skaler çarpımını hesaplayınız.

(b) A ile B arasındaki Θ açısını bulunuz.

Çözüm:

(a) A.B = (2i + 3j).(-i + 2j)

=- 2i.i + 2i.2j – 3j.i + 3j.2j

= -2(1) + 4(0) – 3(0) + 6(1)

= – 2 + 6 = 4

Burada i.i = j.j = 1 ve i.j = j.i = 0 olduğu gerçeğini kullandık. 7.9 Eşitliğini kullandığımızda aynı sonuç elde edilir. Burada Ax = 2, Ay = 3, Bx = – 1 ve By = 2 dir.

(b) A ve B nin büyüklükleri şöyledir:

vektörlerin skaler çarpımı

3.Eşitliğe ve (a) şıkkının sonucunu kullanarak

vektörlerin skaler çarpımı nasıl yapılır

buluruz.

arıcılık malzemeleri
Taner Hayret
Taner Hayret
Merhaba ben Taner Hayret, bir süre Türkiye de Elektrik ve Elektronik Mühendisliği üzerine eğitim aldıktan sonra, hayat serüvenime yurt dışında Nükleer Enerji Mühendisliği üzerine devam ettirmeye karar verdim. Burada sizlerle bilim adına tecrübelerimi paylaşacağım.

4 Yorum

  1. Konu anlatımı kısa ve öz,bu aranılan özellik. Fakat örnek sayısı az, farklı çeşitlerde örnekler olsa daha iyi olur

  2. abi sen yurtdışındasın hazır elin değmişken cern de en basit olarak kullanılan formülleri ve denklemleri araştırıp bulsan çok iyi olur…

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.

Yazar Ol arıcılık malzemeleri Proje Yönetimi

Yeni Yazılar

Giyilebilir Teknoloji Ürünleri

Teknoloji hayatımızın bir parçası olmaktan çıktı artık teknoloji hayatımız oldu. Yeni teknolojiler geliştirildikçe var olan teknolji ve teknolojik aletlerde gelişiyor ve değişiyor. Örnek olarak...

Antioksidan Nedir Görevleri Nelerdir

Canlı vücudu sürekli bir oksidatif stres altında bulunur. Oksidatif stres oksidan ve antioksidanlar arasındaki dengesizlik olarak tanımlanabilir. Bu dengesizliğe neden olan şey ise oksijenin vücutta ikiye ayrılması ve çift halde bulunamamasıdır. Bu...

Genetik Mühendisliğinin İnsanlığa Yarar ve Zararları

İnsanlığın, kalıtsal özellikleri kontrol altına alması ihtiyacından doğmuş genetik mühendisliği ilk kez 1972’de ortaya çıkmıştır ve gelişmiş ülkelerde oldukça değerli bir meslektir. Canlılarda bulunmakta...

RTX 3000 Serisi Ekran Kartlarının Başarısı

nVidia yeni nesil ekran kartlarında oldukça büyük bir başarı yakaladı. Her ne kadar ekran kartını dağıtan firmalarda bazı teknik detay sorunları yaşansa da performansın...

Mühendislik Maaşları

Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Maaşları

Merhaba arkadaşlar bu yazımızda elektronik ve haberleşme mühendisliği maaşları hakkında sizler için araştırdığımız bilgileri sunacağız. Elektronik ve haberleşme mühendisleri, bilişim teknolojileri, proje tasarımı, test ve...

Endüstri Mühendisliği Maaşları

Bu yazımızda endüstri mühendisliği maaşları hakkında bilgi vereceğim. Sizlere aktaracağım bilgiler internette ufak bir araştırma yaparak derledim. Endüstri mühendisliği hakkında bilgi almak için daha...

Ziraat Mühendisliği Maaşları

Bu yazımızda sizlere ziraat mühendisliği maaşları ve ziraat mühendisliği hakkında bilgiler vereceğiz. Ziraat mühendisliği, tarla ve bahçe bitkileri üretimi, büyük ve küçükbaş hayvan yetiştiriciliği...

Orman Mühendisliği Maaşları Ne Kadar

İnşaat mühendislerinin maaşları birçok farklı kritere göre değişiklik göstermektedir. Örneğin devlette mi çalışıyor yoksa özel bir şirkette mi, sahada mı yok ofis içerisinde mi...