Ana Sayfa Fizik Vektörlerin Skaler Çarpımı Nasıl Yapılır

Vektörlerin Skaler Çarpımı Nasıl Yapılır

Kuvvet ve yerdeğiştirme vektörlerinin eşitlik 1 şeklindeki yazılışı, vektörlerin skaler çarpımı olarak adlandırılan uygun bir matematik araç kullanmanın yararlı olacağını söyler. Bu araç, F ve d nin ne kadar birbirine paralel oluşuna bağlı olacak ve nasıl etkileştiğini gösterecektir. Bu skaler çarpımı F.d olarak yazarız. (Kullanı­lan nokta simgesinden dolayı, skaler çarpıma genellikle nokta çarpım da de­nir.) Bu durumda, 1 Eşitliğini bir skaler çarpım olarak ifade edebiliriz:

W = FdcosΘ ( Eşitlik 1)

W= F.d = FdcosΘ (Eşitlik 2)

bm-institute

Başka bir deyişle F.d  (“ F nokta d ” olarak okunur) FdcosΘ ’nın kısaltılmış bir gösterimidir.

Genel olarak A ve B gibi herhangi vektörlerin skaler çarpımı, iki vektörün büyüklükleri ile bunların arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit olan skaler bir niceliktir:

siber güvenlik

A.B = ABcosΘ (Eşitlik 3)

Bu bağıntı Şekil 1’de gösterilmiştir. A ve B nin aynı birimlere sahip olması gerekmediğine dikkat ediniz.

vektörlerin skaler çarpımı ile ilgili örnek
Şekil 1

Şekil 1 ‘de BcosΘ, B’nin A üzerindeki izdüşümüdür. O halde 3. Eşitliğe göre A.B, A ‘nın büyüklüğüyle, B nin A üzerindeki izdüşümünün çarpı­mını ifade eder.

3 Eşitliğinin sağ tarafından, aynı zamanda skaler çarpımın yerdeğiştirebilir (komutatif) olduğunuda görüyoruz. Yani,

A.B = B.A

dır.

Son olarak vektörlerin skaler çarpımı,

A.(B + C) = A.B + A.C

olacak şekilde çarpmanın dağılma yasasına da uyar.

A, B’ye dik veya paralel olduğunda, 3 Eşitliğinden nokta çarpımı hesap­lamak kolaydır. A, B’ye dikse (Θ = 90°), A.B = 0 olur. (A.B = 0 eşitliği aynı za­manda A, ya da B nin sıfır olması durumunda da sağlanacağı açıktır.) A vek­törü, B vektörüne paralel ve aynı yönlü iseler A.B = AB dir. A vektörü B vektö­rüne paralel fakat ters yönlü iseler (Θ = 180°), A.B = – ABdir. 90° < 0 < 180° ol­duğunda skaler çarpım negatiftir.

i, j, k birim vektörleri, bir sağ koordinat sistemi­nin sırasıyla pozitif x,y ve z eksenlerinde yeralır. Dolayısıyla A.B nin tanımın­dan bu birim vektörlerin skaler çarpımları

i.i = j.j = k.k = 1 (Eşitlik 4)

i.j = i.k = j.k = 0 (Eşitlik 5)

dir. A ve B vektörlerinin, bileşenleri cinsinden

A = Axj + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

biçiminde de ifade edilebileceğini söyler. 4 ve 5 Eşitliklerinde verilen bil­gi, A ile B nin skaler çarpımının

A.B = AxBx + AyBy + AzBz

ya indirgenebileceğim gösterir. A = B olan özel durumda

A.A = Ax2 + Ay2 + Az2 = A2

olacağı anlaşılır.

Vektörlerin Skaler Çarpımı İle İlgili Örnek

Örnek: A ve B vektörleri, A = 2i + 3j ve B = – i + 2j olarak veriliyor,

(a) A.B skaler çarpımını hesaplayınız.

(b) A ile B arasındaki Θ açısını bulunuz.

Çözüm:

(a) A.B = (2i + 3j).(-i + 2j)

=- 2i.i + 2i.2j – 3j.i + 3j.2j

= -2(1) + 4(0) – 3(0) + 6(1)

= – 2 + 6 = 4

Burada i.i = j.j = 1 ve i.j = j.i = 0 olduğu gerçeğini kullandık. 7.9 Eşitliğini kullandığımızda aynı sonuç elde edilir. Burada Ax = 2, Ay = 3, Bx = – 1 ve By = 2 dir.

(b) A ve B nin büyüklükleri şöyledir:

vektörlerin skaler çarpımı

3.Eşitliğe ve (a) şıkkının sonucunu kullanarak

vektörlerin skaler çarpımı nasıl yapılır

buluruz.

arıcılık malzemeleri
Taner Hayret
Taner Hayret
Merhaba ben Taner Hayret, bir süre Türkiye de Elektrik ve Elektronik Mühendisliği üzerine eğitim aldıktan sonra, hayat serüvenime yurt dışında Nükleer Enerji Mühendisliği üzerine devam ettirmeye karar verdim. Burada sizlerle bilim adına tecrübelerimi paylaşacağım.

4 Yorum

  1. Konu anlatımı kısa ve öz,bu aranılan özellik. Fakat örnek sayısı az, farklı çeşitlerde örnekler olsa daha iyi olur

  2. abi sen yurtdışındasın hazır elin değmişken cern de en basit olarak kullanılan formülleri ve denklemleri araştırıp bulsan çok iyi olur…

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.

Yazar Ol Yenilenebilir Enerji Teknolojileri arıcılık malzemeleri siber güvenlik

Yeni Yazılar

Takla Atarken Fotoğrafı Bulunan Jandarma Helikopteri Sikorsky S-70’in Hikayesi

Yabancı haber sitelerine kadar düşen bu meşhur fotoğrafla ilgili internette bir bilgi kirliliği mevcut. Doğrusunu dinliyoruz. İnternette sağda solda bu helikopteri takla atarken gösteren bir...

Osteoartrit Nedir Neden Olur Tedavisi Nedir

Osteoartrit; eklem kıkırdağında erozyon, eklem kenarlarında yeni kemik oluşumu, eklem aralığının kaybı, eklem kıkırdağında yumuşama ve incelme, eklem sıvısında ve kapsülünde biyokimyasal değişikliklerin eşlik...

Halide Edip Adıvar Handan Özeti

Halide Edip Adıvar’ın Handan adlı bu eseri, mektuplardan oluşan bir roman olma özelliğini taşımaktadır. Romanda, kitabında ismi olan başkarakter Handan isimli bir kadın bulunmaktadır....

Some Ethical Problems For Turkey

Examples of creating solutions to some of the ethical problems existing in Turkey, I wanted to share with you. I believe that we should...

Mühendislik Maaşları

Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Maaşları

Merhaba arkadaşlar bu yazımızda elektronik ve haberleşme mühendisliği maaşları hakkında sizler için araştırdığımız bilgileri sunacağız. Elektronik ve haberleşme mühendisleri, bilişim teknolojileri, proje tasarımı, test ve...

Ziraat Mühendisliği Maaşları

Bu yazımızda sizlere ziraat mühendisliği maaşları ve ziraat mühendisliği hakkında bilgiler vereceğiz. Ziraat mühendisliği, tarla ve bahçe bitkileri üretimi, büyük ve küçükbaş hayvan yetiştiriciliği...

Bilgisayar Teknikeri Maaşları

Teknikerler, bulundukları kurumda her türlü donanım sorunları, internet bağlantıları, internet kurulumları, güncellemeler ve benzeri bilgi işlem sürecinde hizmet sağlayan teknik personel kadrosuna bağlı memurlar...

Ağaç İşleri Endüstri Mühendisliği Ne İş Yapar

Doğa, insanoğluna sınırsız kaynaklar sunmaktadır. Bu nedenle de doğanın dilinden anlayacak, işleyecek donanımlı elemanlara ihtiyaç duyulmaktadır. Doğanın sınırsız kaynaklarını işlemek açısından ise ağaç işleri...