Ana Sayfa Matematik Euler Özdeşliği ve İspatı

Euler Özdeşliği ve İspatı

Bu yazımda matematikteki en olağanüstü denkliklerden bir tanesi olan Euler özdeşliği hakkında bahsedeceğim. Yazımda yüzeysel ve temel olarak bilinen denkliklerden yararlanarak kainatın, olağanüstü sayıları bir araya getirip bir tam sayıya nasıl eşitlendiğini göstermeye çalışacağım. Bunun için Taylor serisi olarak bilinen seriye bakalım. Brook Taylor‘ın fonksiyonlarla oynayışı çok manidardır. Seriye göre bir fonksiyonda , fonksiyonun genelini kapsayan terimlerin bir tek noktasındaki türevinin değerlerinden hesaba gelen sonsuz toplamının yazılma şeklindeki açılımıdır. Formülize edersek;
F(x) = f(a) + (f'(a)/1!)(x-a) + (f”(a)/2!)(x-a)^2 + (f”'(a)/3!)(x-a)^3 + … ‘ dır. Bu fonksiyona Colin Maclaurin ismindeki matematikçi a=0 da bir bakış açısı getirerek daha basit bir biçime sokmuş ve Maclaurin serisini geliştirmiştir. Maclaurin serisinin matematiksel açılımı ;
F(x) = f(0) + f'(0)x + (f”(0)/2!)x^2 + … ‘ dir. Bunlardan istinaden şu denklemleri de vermek istiyorum.

Euler Özdeşliği Nedir

cosx’ in maclaurin serisi: 1- x^2/2! +x^4/4! – x^6/6! + …
sinx’ in maclaurin serisi : x – x^3/3! + x^5/5! – x^7/7! + …
e^x’ in maclaurin serisi 1+ x + x^2/2! + x^3/3! +x^4/4! + … ‘ dir.

Evet şimdi e^x ‘ in maclaurin serisindeki karşılığını ele alalım.
e^x = 1+ x+ x^2/2! + x^3/3! +x^4/4! + …

Bu denklikte x yerine ix yazalım ve çözümleyelim.
e^ix = 1+ ix + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + (ix)^4/4! + …

Şimdi biraz daha açalım.
e^ix= 1+ ix – x^2/2! – i(x^3)/3! + x^4/4! + i(x^5)/5! – x^6/6! – i(x^7)/7! + …

Reel ve imajiner kısımları bir araya toplayalım.
e^ix= (1 – x^2/2! + x^4/4! – x^6/6! + …) + i ( x -x^3/3! + x^5/5! – x^7/7! + …)

Yukarıda bazı değerlerin maclaurin serisine göre denkliklerini vermiştim. Görüldüğü üzere reel kısmın cosx ‘ in maclaurin serisine , imajiner kısmında sinx’ in maclaurin serisine denk gelmekte. Buna göre çok şık bir sonuç elde ederiz ve denklemimiz; e^ix= cosx + isinx olur.

Bence bu denklem matematiğin en büyük denklemleri arasında ilk 3 sırada yerini bulur. Şimdi işi biraz radyansal hesaba dökelim ve x yerine π yazalım. Denklemimiz : e^iπ = cosπ + isinπ olur. Lisedende bildiğimiz üzere cosπ = -1 ve sinπ = 0 dır. Yani denklemimiz : e^iπ= -1 olur. Toparlayacak olursak e^iπ + 1 = 0 denklemini elde ederiz. İşte bu denklem Euler denklemi olarak anılır. Bu denklem öyle bir güzellik taşır ki i’nin, π’nin ve e’nin kullanım alanlarının farklı olmasına rağmen evrenin, bu sayıların birleşiminin bir tam sayıya indirgediğini gösterir ve Euler, insanın hastalık düzeyine erişebilecek bu düzey matematik ilgisinin ne denli muhteşem bir bilgiye dönüşebileceğinin bir kanıtını da bu özdeşliğiyle gösterir…

Umarım anlaşılır bir yazı olmuştur. Okuduğunuz için teşekkür ederim.

arıcılık malzemeleri
Muhammed Işci
Muhammed Işci
Merhabalar. Ben Muhammed İŞCİ. Mühendis Beyinler sitesinde yazarım. Konularımı genellikle Matematik ile ilgili seçmekteyim. 1995 doğumlu olup 2013 yılında Kayseri Lisesi'nin, nam-ı diğer Taş Mektebin 120. yılı mezunlarındanım. Aynı yıl içerisinde de Erciyes Üniversitesi Mekatronik Mühendisliğini kazanmış bulunmakla birlikte burada öğrenimime devam etmekteyim. Amacım: Bilime aç bir gelecek inşa etmek. Amatör Matematikçiden Sevgilerle...

1 Yorum

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.

Yazar Ol arıcılık malzemeleri Proje Yönetimi

Yeni Yazılar

Giyilebilir Teknoloji Ürünleri

Teknoloji hayatımızın bir parçası olmaktan çıktı artık teknoloji hayatımız oldu. Yeni teknolojiler geliştirildikçe var olan teknolji ve teknolojik aletlerde gelişiyor ve değişiyor. Örnek olarak...

Antioksidan Nedir Görevleri Nelerdir

Canlı vücudu sürekli bir oksidatif stres altında bulunur. Oksidatif stres oksidan ve antioksidanlar arasındaki dengesizlik olarak tanımlanabilir. Bu dengesizliğe neden olan şey ise oksijenin vücutta ikiye ayrılması ve çift halde bulunamamasıdır. Bu...

Genetik Mühendisliğinin İnsanlığa Yarar ve Zararları

İnsanlığın, kalıtsal özellikleri kontrol altına alması ihtiyacından doğmuş genetik mühendisliği ilk kez 1972’de ortaya çıkmıştır ve gelişmiş ülkelerde oldukça değerli bir meslektir. Canlılarda bulunmakta...

RTX 3000 Serisi Ekran Kartlarının Başarısı

nVidia yeni nesil ekran kartlarında oldukça büyük bir başarı yakaladı. Her ne kadar ekran kartını dağıtan firmalarda bazı teknik detay sorunları yaşansa da performansın...

Mühendislik Maaşları

Otomasyon Teknikeri Maaşları

Otomasyon teknikeri ne iş yapar? Zımparalamanın makineye dönüşmüş hali olan talaşlı üretim makinelerinin yapıldığı fabrikalarda mühendis ile teknisyen arasında çalışan kişidir. Otomasyon teknikeri, otomasyon...

Jeoloji Mühendisliği Maaşları

Bu yazımızda jeoloji mühendisliği maaşları hakkında bilgiler vereceğiz. Ülkemizde eğitimi verilmekte olan mühendislik dallarından birisi de jeoloji mühendisliği olmaktadır. Jeoloji mühendisliğinden mezun olmuş kişiler...

Çevre Mühendisliği Maaşları

Merhaba arkadaşlar, bu yazımda çevre mühendisliği maaşları hakkında bir takım bilgiler vereceğim. Günümüzde çok sayıda öğrenci tarafından tercih edilmekte olan mühendislik dallarından birisi de...

Acil Tıp Teknisyeni Maaşları

Bu yazımda acil tıp teknisyeni maaşları hakkında bilgilendireceğim. Sağlık Bakanlığı bünyesinde kaza geçirmiş hastalara fiziki veya ruhen destekleyici ilk müdahaleyi yaparak, hastaneye yetiştirilmesinde önemli...