Ana Sayfa Matematik Euler Özdeşliği ve İspatı

Euler Özdeşliği ve İspatı

Bu yazımda matematikteki en olağanüstü denkliklerden bir tanesi olan Euler özdeşliği hakkında bahsedeceğim. Yazımda yüzeysel ve temel olarak bilinen denkliklerden yararlanarak kainatın, olağanüstü sayıları bir araya getirip bir tam sayıya nasıl eşitlendiğini göstermeye çalışacağım. Bunun için Taylor serisi olarak bilinen seriye bakalım. Brook Taylor‘ın fonksiyonlarla oynayışı çok manidardır. Seriye göre bir fonksiyonda , fonksiyonun genelini kapsayan terimlerin bir tek noktasındaki türevinin değerlerinden hesaba gelen sonsuz toplamının yazılma şeklindeki açılımıdır. Formülize edersek;
F(x) = f(a) + (f'(a)/1!)(x-a) + (f”(a)/2!)(x-a)^2 + (f”'(a)/3!)(x-a)^3 + … ‘ dır. Bu fonksiyona Colin Maclaurin ismindeki matematikçi a=0 da bir bakış açısı getirerek daha basit bir biçime sokmuş ve Maclaurin serisini geliştirmiştir. Maclaurin serisinin matematiksel açılımı ;
F(x) = f(0) + f'(0)x + (f”(0)/2!)x^2 + … ‘ dir. Bunlardan istinaden şu denklemleri de vermek istiyorum.

Euler Özdeşliği Nedir

cosx’ in maclaurin serisi: 1- x^2/2! +x^4/4! – x^6/6! + …
sinx’ in maclaurin serisi : x – x^3/3! + x^5/5! – x^7/7! + …
e^x’ in maclaurin serisi 1+ x + x^2/2! + x^3/3! +x^4/4! + … ‘ dir.

Evet şimdi e^x ‘ in maclaurin serisindeki karşılığını ele alalım.
e^x = 1+ x+ x^2/2! + x^3/3! +x^4/4! + …

bm-institute

Bu denklikte x yerine ix yazalım ve çözümleyelim.
e^ix = 1+ ix + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + (ix)^4/4! + …

Şimdi biraz daha açalım.
e^ix= 1+ ix – x^2/2! – i(x^3)/3! + x^4/4! + i(x^5)/5! – x^6/6! – i(x^7)/7! + …

siber güvenlik

Reel ve imajiner kısımları bir araya toplayalım.
e^ix= (1 – x^2/2! + x^4/4! – x^6/6! + …) + i ( x -x^3/3! + x^5/5! – x^7/7! + …)

Yukarıda bazı değerlerin maclaurin serisine göre denkliklerini vermiştim. Görüldüğü üzere reel kısmın cosx ‘ in maclaurin serisine , imajiner kısmında sinx’ in maclaurin serisine denk gelmekte. Buna göre çok şık bir sonuç elde ederiz ve denklemimiz; e^ix= cosx + isinx olur.

Bence bu denklem matematiğin en büyük denklemleri arasında ilk 3 sırada yerini bulur. Şimdi işi biraz radyansal hesaba dökelim ve x yerine π yazalım. Denklemimiz : e^iπ = cosπ + isinπ olur. Lisedende bildiğimiz üzere cosπ = -1 ve sinπ = 0 dır. Yani denklemimiz : e^iπ= -1 olur. Toparlayacak olursak e^iπ + 1 = 0 denklemini elde ederiz. İşte bu denklem Euler denklemi olarak anılır. Bu denklem öyle bir güzellik taşır ki i’nin, π’nin ve e’nin kullanım alanlarının farklı olmasına rağmen evrenin, bu sayıların birleşiminin bir tam sayıya indirgediğini gösterir ve Euler, insanın hastalık düzeyine erişebilecek bu düzey matematik ilgisinin ne denli muhteşem bir bilgiye dönüşebileceğinin bir kanıtını da bu özdeşliğiyle gösterir…

Umarım anlaşılır bir yazı olmuştur. Okuduğunuz için teşekkür ederim.

arıcılık malzemeleri
Muhammed Işci
Muhammed Işci
Merhabalar. Ben Muhammed İŞCİ. Mühendis Beyinler sitesinde yazarım. Konularımı genellikle Matematik ile ilgili seçmekteyim. 1995 doğumlu olup 2013 yılında Kayseri Lisesi'nin, nam-ı diğer Taş Mektebin 120. yılı mezunlarındanım. Aynı yıl içerisinde de Erciyes Üniversitesi Mekatronik Mühendisliğini kazanmış bulunmakla birlikte burada öğrenimime devam etmekteyim. Amacım: Bilime aç bir gelecek inşa etmek. Amatör Matematikçiden Sevgilerle...

1 Yorum

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.

Yazar Ol Yenilenebilir Enerji Teknolojileri arıcılık malzemeleri siber güvenlik

Yeni Yazılar

Takla Atarken Fotoğrafı Bulunan Jandarma Helikopteri Sikorsky S-70’in Hikayesi

Yabancı haber sitelerine kadar düşen bu meşhur fotoğrafla ilgili internette bir bilgi kirliliği mevcut. Doğrusunu dinliyoruz. İnternette sağda solda bu helikopteri takla atarken gösteren bir...

Osteoartrit Nedir Neden Olur Tedavisi Nedir

Osteoartrit; eklem kıkırdağında erozyon, eklem kenarlarında yeni kemik oluşumu, eklem aralığının kaybı, eklem kıkırdağında yumuşama ve incelme, eklem sıvısında ve kapsülünde biyokimyasal değişikliklerin eşlik...

Halide Edip Adıvar Handan Özeti

Halide Edip Adıvar’ın Handan adlı bu eseri, mektuplardan oluşan bir roman olma özelliğini taşımaktadır. Romanda, kitabında ismi olan başkarakter Handan isimli bir kadın bulunmaktadır....

Some Ethical Problems For Turkey

Examples of creating solutions to some of the ethical problems existing in Turkey, I wanted to share with you. I believe that we should...

Mühendislik Maaşları

İşlem Mühendisliği Maaşları

Her şirketin kendine göre bir maaş politikası vardır. Maaş politikası belirlenirken, yazılı kanunlar, kişinin iş performansı dikkate alınır. İşlem mühendisi; hastane, banka, belediye de...

İnşaat Teknolojisi Bölümü Maaşları

İnşaat teknolojisi bölümü inşaat sektörünün giderek gelişmesiyle beraber ortaya çıkan bir bölümdür. Bölümden mezun olanlar çeşitli kurumlar da ve iş sahalarında iş bulabilir. İnşaat...

Çevre Mühendisliği Maaşları

Merhaba arkadaşlar, bu yazımda çevre mühendisliği maaşları hakkında bir takım bilgiler vereceğim. Günümüzde çok sayıda öğrenci tarafından tercih edilmekte olan mühendislik dallarından birisi de...

Peyzaj Mimarlığı Maaşları

Mimarlık bölümleri gençler tarafından oldukça ilgi görmektedir. Üniversite sınavına hazırlanan gençlerin bu süreç içerisinde meslek grupları hakkında bilgi edinmek için yoğun araştırma dönemine de...