Cebirsel Denklemler Nedir

0
885
cebirsel denklemler nedir

Merhaba arkadaşlar bu yazımızda sizlere cebirsel denklemler nedir ve bir problemin cebirsel denklemler halinde yazımını anlatacağız. İçinde bulunduğumuz evrende a ve b’nin aynı nesnenin iki gösterimi, iki adı olduğunu ifade etmek için a = b yazılır. İki gösterim aynı nesneyi belirtiyorsa bunlar eşitlenebilir. Buradan, eşitliğin kullanma kuralları kendiliğinden ortaya çıkar: a = a (yansıma); a = b ise b = a’dır (simetri); a = b ve b = c ise a = c’dir (geçişlilik).

2=1 + 1, 2a = a + a, 2x = x + 1 bağıntılarım göz önüne alalım; = işaretinin yer aldığı bu üç matematiksel yazım arasındaki fark nedir? İlk yazımda hiç harf yoktur; yazım biçimsel olarak görülen 1 ile 2’den söz eder ve 2’nin (1 + 1) olduğunu öne sürer.

İkincisinde a harfi vardır; bu harf bağıntının tanımlandığı A kümesinin her elemanım temsil eder ve bağıntı A’nın her elemanı için 2a’nın (a + a) olduğunu öne sürer,

Üçüncü bağıntı geçici olarak x ile gösterilen bir nesneden söz eder; bu nesnenin var olup olmadığı ve ne olduğu bilinmiyor ve х’е 1 eklenerek x’in iki katını elde etmek isteniyor. Bu bağıntı, tanımlı olduğu A kümesinin bir elemanınca gerçeklenmesi gereken bir zorlamanın veya bir özelliğin ifadesidir. Bu nedenle söz konusu ifade bir denklem olarak kabul edilir; denklemde, A kümesine ait belirli bir nesne olan, henüz adı bulunmayan ve bilinmeyeni temsil eden x harfi söz konusudur.

A kümesinin, 2х = х + 1 ifadesini doğrulayacak bir elemanı var mıdır? Denklemi çözmek, bu soruya cevap vermek, yani denklemin tanımladığı zorunluluğu gerçekleyen A’nın elemanlarını belirlemek demektir. Bu nedenle bir denklem ancak bir küme içinde çözülebilir.

Mesela, 2x – 1 = 0 denklemini N tamsayılar kümesinde veya Q rasyonel sayılar kümesinde çözmek istenebilir.

N tamsayılar kümesinde bu denklemin çözümü yoktur; Q rasyonel sayılar kümesinde ise çözüm vardır; bu çözüm 1/2 rasyonel sayısıdır, х2 + 1 = 0 denkleminin ise, R gerçek sayılar kümesinde çözümü yoktur (karesi negatif olan hiçbir gerçek sayı bulunamaz), ama karmaşık sayılar kümesinde iki çözümü vardır: + i ve – i sayıları.

Somut bir problemin bir denklem halinde yazılması, verilerin dikkatli bir şekilde incelenmesini gerektiren hassas bir tekniktir. Denklem elde etmenin yararı, özellikle en klasik denklemler için, çözümün genel ve çoğunlukla otomatik yöntemler kullanılarak bulunabilmesidir. Ancak, derecesi 4’ten büyük denklemlerin çözümünün zorluğu karşısında cebirin bir çıkmaza girdiği sanıldı. Bu problemin köklü bir değişime uğraması ve soyut bir şekilde incelenmesi için Abel ve Galois gibi genç dahiler gerekiyordu. Bu sorun matematiği altüst etmişti.

Bir Problemin Cebirsel Denklemler Halinde Yazımı

Somut problemleri denklemlerle çözmeye çalışmak, matematikte sık sık kullanılan çok eski bir tekniktir. Problemleri denklemlerle çözme yöntemini, matematikçi Ebu Cafer Muhammed bin Musa El-Harizmî, Bağdat’ta 830 ‘a doğru yayımlanan Hisabü’l-Cebr ve ‘l-Mukabele ( Cebir ve Mukayese Hesabı) adlı eserinde açıkladı. El cebr kelimesinin tam çevirisi basit değildir; bu kelime Türkçe’ye cebir biçiminde girdi; Arapça’da kırık, kırığı düzeltme anlamına gelir; El-Harizmî, bu eserinde bir denklemde, terimler ekleyerek veya terimler çıkararak, eşitliğin iki yanını düzelten yöntemleri gösterdi; mukabele ise eşitliğin iki yanındaki benzer terimlerin birbirini göstermesiyle ilgilidir. Diophantos’un Arithmetika (Aritmetik) adlı eserinde, denklemlerin çözümüyle ilgili ilk düşünceler yer alır; ama bilinen anlamda cebir El-Harizmi’nin eseriyle başladı; bu eser daha sonra Latince’ye çevrildi. Aynı yazarın, aritmetik kitabında kullandığı Hint rakamları, önce Doğu’da, sonra bütün Batı dünyasında yayıldı.

Cebirsel yöntemin ilkeleri nedir? Aranan sayıya bilinmeyen denir ve bu, bir harfle gösterilir; bu harf genellikle x tir, problemin ortaya koyduğu sorun, bilinmeyeni kullanan bir eşitlikle ifade edilir; bu ifadeye denklem denir. Bu aşamadan sonra, denklem problemin somut anlamından bağımsız olarak çözülür. Bir denklemi çözmek, x bilinmeyeninin yerine konulduğunda denklemi doğrulayan ve denklemin kökü (veya kökleri) denen sayılan eğer mümkünse bulmaktır. Bir denklemin kökü bulunmayacağı gibi, çok sayıda kökü de olabilir.

Mesela, alanı 12 ve çevresi 14 olan bir dikdörtgenin uzun kenarını bulmaya çalışalım. Uzunluk x ile gösterilirse, çevrenin yarısı 7 olduğundan, dikdörtgenin genişliği (7 – x)’tir ve dikdörtgenin alanı x.(7 – x) ifadesiyle bulunur. Buna göre, problemde ortaya çıkan koşulu ifade eden denklem şu şekilde yazılır:

x.(7-x) = 12

3 ve 4 sayılarının denklemin kökleri olduğu doğrulanabilir. Bu örnek, cebirin özünde yer alan başka bir düşünceyi vurgulamaya yarar: çevrenin ve alanın sayısal değerlerini vermek yerine bu değerler P ve S harfleriyle gösterilebilir. Bu durumda denklem

cebirsel denklemler

biçimini alır. Bu biçimiyle denklem sadece tek bir problemi değil, benzer problemlerin bir sınıfını ifade eder. P ve S harfleri, yerlerine çeşitli değerler yazılabilen verilerdir; bu harflere parametre adı verilir.

Bu yazımızda sizlere cebirsel denklemler nedir konusunu anlattık diğer yazımızda görüşmek üzere.

Paylaşır mısınız?
Önceki İçerikKüresel ısınmayla savaşan pirinç
Sonraki İçerikısı pompaları nedir ve buzdolabının çalışma prensibi
Elif Yaldız
Merhaba ben Elif Yaldız, bir süre Türkiye de Elektrik ve Elektronik Mühendisliği üzerine eğitim aldıktan sonra, hayat serüvenime yurt dışında Enerji Sistemleri Mühendisliği üzerine devam ettirmeye karar verdim. Burada sizlerle bilgi alış verişinde bulunmaktan memnuniyet duyuyorum.

Düşünceleriniz Nedir?