Ana Sayfa Matematik Gama Fonksiyonu ve Özellikleri

Gama Fonksiyonu ve Özellikleri

Bu yazımızda sizlere gama fonksiyonu ve özelliklerini anlatacağız. Bunun yanı sıra konuyu daha iyi kavraya bilmek için gama fonksiyonu ile ilgili çözümlü örnekler çözeceğiz. Γ(n) ile gösterilen Gama fonksiyonu.

gama fonksiyonu nedir
Eşitlik 1

ile tanımlanır ve n>0 için yakınsaktır.

Gama fonksiyonu için yenilenim formülü

Γ(n + 1) = n Γ(n)   (Eşitlik 2)

dir. Burada Γ(1) = 1 dir. 1 ≤ n < 2 için (veya birim uzunluklu herhangi bir aralık) değerleri bilindiği zaman (2) den Γ(n) tüm n>0 için belirlenebilir (aşağıdaki tabloya bakınız). Özel olarak, eğer n bir pozitif tamsayı ise, o zaman

Γ(n+1) = n!  n = 1, 2, 3 … (Eşitlik 3)

olur. Bu nedenle bazen Γ(n) faktöriyel fonksiyonu olarak adlandırılır.

Γ(2) = 1! = 1 , Γ(6) = 5! = 120

gama fonksiyon

gama fonksiyonu ve özellikleri
Eşitlik 4

olduğu gösterilebilir.

Eşitlik 2 yenilenim bağıntısı bir fark denklemi olup çözümü Eşitlik (1) dir. n > 0 için Eşitlik (1)’ i Γ(n) nin tanımı alarak ve Eşitlik (2) yi

gama fonksiyonu ne
Eşitlik 5

şeklinde kullanılarak gama fonksiyonunu n < 0 a genişletebiliriz.

Gama Fonksiyonunun Değerler Tablosu ve Grafiği

gama fonksiyonu değerleri

gama fonksiyonu şekli
Şekil 1

Γ(n) İçin Asimtotik Formül

Eğer n büyük ise Γ(n) nin hesaplamasındaki zorluklar belirgin olarak ortaya çıkar. Böyle bir durumda kullanışlı bir sonuç

asimtotik
Eşitlik 6

bağıntısıyla sağlanır. Pek çok pratik amaçlar için, n büyüdükçe 1’e yaklaşan son çarpan ihmal edilebilir. Eğer n bir tamsayı ise

gama fonksiyonu için asimtotik
Eşitlik 7

yazabiliriz. Burada ∼ nin anlamı “büyük n için yaklaşık olarak eşit” anlamını taşır. Bu bazen Stirling yaklaşık faktöriyeli veya n! için asimtotik formülü olarak adlandırılır.

Gamma Fonksiyonunu İçeren Çeşitli Sonuçlar

DSC_0406
Eşitlik 8

Özet olarak eğer x = 1/2, ise

gama fonksiyonu ve özellikleri

dir.

gama
Eşitlik 9

Bu, gama fonksiyonu için çoğaltma formülü olarak adlandırılır.

çoğaltma formülü
Eşitlik 10

Eşitlik (9) sonucu Eşitlik (10)’ un m = 2 için bir özel durumudur.

euler sabiti
Eşitlik 11

gaus
Eşitlik 12

Bu, gama fonksiyonu için bir sonsuz çarpan gösterimidir. γ sabiti Euler sabitidir.Burada ∏ (x, k) bazen Gauss ∏ fonksiyonu olarak adlandırılır.

stirling
Eşitlik 13

Bu seriye gama fonksiyonu için Stirling asimtotik serisi denir. Parantez içindeki seri bir asimtotik seridir.

euler sabit
Eşitlik 14

burada γ Euler sabitidir.

euler sabit
Eşitlik 15

Gama Fonksiyonu İle İlgili Çözümlü Örnekler

  1. (a) Γ(n+1) = n Γ(n), n > 0; olduğunu ispatlayınız.

Eğer n>0 ise;

gama fonksionu ile ilgili örnek

olur.

(b) Γ(n+1) = n!, n = 1, 2, 3 … olduğunu ispatlayınız.

gama fonsk

Γ(n+1) = nΓ(n) ‘de, n = 1, 2, 3 …koyunuz. O zaman

Γ(2) = 1Γ(1) = 1, Γ(3) = 2Γ(2) = 2.1 = 2!, Γ(4) = 3Γ(3) = 3.2! = 3!

Genel olarak, eğer n bir pozitif tamsayı ise Γ(n+1) = n! dir.

2.Aşağıdaki herbirinin değerini bulunuz.

çözümlü örnekler gama fonksiyonu

3. Aşağıdaki her bir integralin değerini hesaplayınız.

DSC_0417

4. gama fonksiyonu ve özellikleri ‘yi ispat ediniz.

gamma fonksiyonun

x = ualınırsa bu integral

gamma fonksiyonu ve

haline gelir.

5. (a) Γ(-1/2) değerini bulunuz.

asımtotık

bulunur.

(b) Γ(-5/2) değerini bulunuz.

gamma fonksiyonu ve değeri

arıcılık malzemeleri
Taner Hayret
Taner Hayret
Merhaba ben Taner Hayret, bir süre Türkiye de Elektrik ve Elektronik Mühendisliği üzerine eğitim aldıktan sonra, hayat serüvenime yurt dışında Nükleer Enerji Mühendisliği üzerine devam ettirmeye karar verdim. Burada sizlerle bilim adına tecrübelerimi paylaşacağım.

3 Yorum

  1. Merhaba, gamma fonksiyonunu anlamam için makaleniz çok yardımcı oldu bana teşekkürler. Bu konunun devamı için resimlerde kullandığınız kaynak nedir acaba? Paylaşabilir misiniz acilen.

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.

Yazar Ol arıcılık malzemeleri

Yeni Yazılar

Dans Eden Robotlar – Boston Dynamics Robotları

Son zamanlarda oldukça sık bir şekilde her yerde karşımıza çıkan dans eden robotlara denk gelmişsinizdir. Geçtiğimiz günlerde Hyundai’nin satın aldığı robotik sistem çalışmaları ile...

Yalın Üretim Sistemi

Yalın üretim kavramıyla ilk nerede tanıştım? Bu kavramla ilk kez imalat stajımı yaparken karşılaştım. Raporumun imalat ve yönetime dair iyileştirme-geliştirme kısmında maliyet, süre, malzeme...

Vakum Torbalama Yöntemi

Vakum torbalama yöntemi kompozit üretim yöntemlerinden biridir. Vakum torbalama yöntemini daha iyi anlayabilmek için öncelikle kompozitten bahsedelim. Kompozit nedir? Kompozit malzeme belirli bir amaca yönelik...

Giyilebilir Teknoloji Ürünleri

Teknoloji hayatımızın bir parçası olmaktan çıktı artık teknoloji hayatımız oldu. Yeni teknolojiler geliştirildikçe var olan teknolji ve teknolojik aletlerde gelişiyor ve değişiyor. Örnek olarak...

Mühendislik Maaşları

Ulaşım Mühendisliği Maaşları

Ulaştırma günümüzde başlı başına bir mühendislik endüstrisi haline gelmiştir. Bu nedenle ulaşım sektöründeki gelişmeler için ihtiyaç duyulan iş gücü potansiyeli de artmıştır. Özellikle ulaştırma...

Harita Mühendisliği Maaşları

Ülkemizin en çok tercih edilen mühendislik dallarından biri olan harita mühendisliği önü açık ve geleceği parlak bir meslek olarak tanımlanmaktadır. Bu yazımızda harita mühendisliği...

Ziraat Mühendisliği Maaşları

Bu yazımızda sizlere ziraat mühendisliği maaşları ve ziraat mühendisliği hakkında bilgiler vereceğiz. Ziraat mühendisliği, tarla ve bahçe bitkileri üretimi, büyük ve küçükbaş hayvan yetiştiriciliği...

Makine Teknisyeni Maaşları

Makine Teknisyeni ne iş yapar? Makine teknisyeni endüstri meslek liselerinden mezun olan kişilerdir. Bu yüzden makine teknisyeni ile makine mühendisini karıştırmamak gerekir. Mühendis olmak...