Gödel ve Eksiklik Teoremi

11163

Kurt Gödel ve meşhur teoremi… Aslında bu yazının anlaşılması biraz güç. Matematikçiler tarafından halen tartışılmaktadır. Gödel (1906-1978) yılları arasında yaşamış matematikçi ve matematik felsefecisidir. (Matematik Felsefesi, felsefe biliminden ayrı kılan bazı önemli noktalar vardır. Gödel hayatının bir kısmını zorluklar içinde geçirse de tarihte önemli bir yere gelmiştir. Gödel, Albert Albert Einstein ile 1940 yılında Princeton Üniversitesinde çalışma imkanı yakalamıştır. Gödel’in çalıştığı konular zor ve derindi. Maddi cisimlerde ışık hızının önemli tespitlerini ve evren kuramı ile ilgili çok detaylı araştırmalar yapmıştır. Gödel belki yaratılış itibarı ile sonuçlardan çok nedenselliği sorgulamış birisiydi. Belki de iyi bir bilim insanı olmasının sebebi budur.

Gödel ve albert einsteinDoktora yaparken üzerinde çalıştığı ve kendi adıyla anılan Gödel’in Eksiklik teoremi hiçbir matematik sisteminin tam olamayacağı ile ilgiliydi. Fakat yanlış anlaşılmaması gereken konu Gödel’e göre tüm sistemlerin eksik olacağı anlamına gelmez. Bazı doğru önermeler diğer sistemlerde yer alabilir, ispatları diğer sistemde bulunabilir. Bilindiği gibi iki tip geometriden Öklid geometrisi ne kadar eksik ise Riemann Geometrisi de o kadar eksiktir.

Gödel çalışmaları neticesinde kanıtlamak istediği şey sonlu her sistemin bir eksiklik içerdiği idi. Aslında bu konu eski yunan matematiğinde de temel sorun haline gelmişti. Euclid “elementler” kitabında 5 postulat (aksiyom) tanımlamış ve bunların ispatını vermemiştir. Ayrıca kitabı açan insanlar ilk sayfada bu aksiyomları kabul edeceği gibi bir ifade aksiyomları doğru kabul edeceği anlamına geliyordu. Evet yanıldıkları bir şey de yoktu o zamanlar. Fakat Müslüman Matematikçilerden Nasireddin Al-Tusi, Ömer Hayyam gibi matematikçiler bu 5 postulat hakkında bir fikir ayrılığına düşüyordu. Elementler adlı kitapta 5. aksiyom ilk 4 aksiyomdan elde edileceği gibi bir ifade yazıyordu. Fakat ne kadar denenirse denensin son postulat ilk dört postulattan elde edilemiyordu. İşte bu noktada farklı bir sistem olduğu o yıllarda anlaşıldı. Eğri ve Hiperbolik geometri Euclid geometrisinin bir eksiği idi. İşte Gödel’in anlatmak istediği tam da bu idi. Sonradan Eğri ve Hiperbolik geometri müslüman matematikçilerimize verilmeyip Lobaçevski ve Riemann’a atıf edilmiştir. Yüzlerce yıl Euclid geometrisinin sarsılmaz bir geometri olduğu sonradan bulunan Hiperbol geometrisi ve eğri geometrisinin bulunması ile sarsıldı.

Gödel ve Eksiklik TeoremiYukarıda örnekten ne söylemek istediğimiz anlaşılmıştır fakat bir de matematiksel olarak örnek verelim. Bir sistem tanımlayalım. X=( 2, 4, 5, 9 ) olsun ve sistemimiz için çarpma işlemi bizim işlemimiz olsun. Şimdi,

2.4=8                       5.9=45

2.2.2=8                    4.9=36

4.5=20                     2.2.4.9=16.9

Yukarıda bazı işlemler yaptık oluşan sistemimizin elemanları (8,10,16,18,20,…) şeklinde oluştu. Sizce bu sistem tam mı? Cevabınız hayır çünkü 1,2,3,4,5,6,7 gibi ya da 49, 53 gibi sayılar yok. Bu yüzden ilk başta dediğimiz gibi her sonlu sistem bir eksiklik belirtir ifadesini matematiksel olarak kanıtını vermesekte örneğini göstermiş olduk. Bu teorem çok estetik ve derin düşünceler içerir. Gödel matematik felsefesi mantık gibi derin konuları çalıştığı için son yıllarında yemeğinden zehirleneceği gibi bir paranoyaya kapılmıştı. Evinde öldüğü sırada 29 kilo ve cenin pozisyonundaydı.

Matematik ile kalmanız ümidimle…

Paylaşır mısınız?
Mushab Bedirhan Andız
Kendini matematiğe adamış, araştırma yapmaktan ve çalışmaktan haz duyan insanoğlu...

7 Yorum

  1. Gödel bu teoremi neden bulmuş? Matematiksel olarakta gerçek hayatta da sınırlı olan şeyler hep kusurludur. Zaten asla sonsuz olmayan bir sistem eksiksiz olmaz ki. Bu çok basit bir mantık.

    • Daha derinlere inmek konuyu dağıtabilirdi. Yüzeysel geçmek istedim… Teşekkür ederim yorumunuz için

      • Cevabınız için teşekkürler. Konuyla ilgili biraz araştırma yaptım. Teorem doğru ancak bana göre gereksiz. Yorumumda desiğim gibi zaten sınırlı önermeler kusursuz olamaz. Hilbert böyle birşeye girişmiş. Ben onun düşüncesizliği olarak düşünüyorum. Zaten kocaman olan matematiği bir önerme aksiyom vb. birşeyde toplayamayız. Hata yapmış Hilbert. Matematiktede bir sınırlı bir önerme kusursuz olamaz. Sınırsız, kusursuz olmaması 3000 yıldır işe yaramıyorsa hala yaramaz. Son olarak linkini attığım video hakkındaki görüşlerinizi yazarsanız çok sevinirim. Teşekkürler.

        youtube.com/watch?v=Noo4lN-vSvw

  2. Sonuçlar yerine, nedensellik ?.
    Nedenselliği sorgularsak pek çok çözemediğimiz problemi çözebileceğimize inanıyorum.
    Güzel yazınız için tebrik ediyorum.
    Saygılarımla.

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.