Kök 2 Rasyonel Bir Sayı Değildir!

14806
Kök 2 Rasyonel Bir Sayı Değildir

Matematik tarihine bakıldığı zaman bizim için çok küçük hatta önemsiz gibi gözüken bir ifadenin arkasında kanlı ya da olaylı bir geçmiş vardır. sayısının arkasındaki bu gerçek ise matematik tarihini olduğu kadar bilim ile uğraşan tüm herkesin ilgisini çekmiştir. Pisagor okulunda doğal sayıların “İlahlaştırılması” bu sayılardan başka bir sayı grubunun olamayacağını gösteren nitelikten biriydi. Bu yazıda bu kanlı kavganın hikayesini anlatmaktan ziyade bu sayının yani köklü sayıların – biz özel bir sayı alıyoruz -irrasyonel sayı olduğunu gösterelim.

Rasyonel sayılar a/b biçiminde ifade edilen (a,b)=1 olacak biçimde ifade edilen – bu noktada “b” sayısının 0’dan farklı bir sayı olduğunu da düşünürsek – sayılara denilmektedir. Matematikte sizlerinde yakından bildiği olmayan ergi yöntemini yani aksini kabul etme yöntemini kullanarak kanıtımızı yapmaya çalışalım. Diyelim kisayısı rasyonel bir sayı olsun ve bu durumda da a/b biçiminde de yazılabilsin. Yani bu durumda,

a/b=

yazılır. Her iki tarafın da karesini alarak karekök ifadesinden kurtulalım.

a bölü bolur. Düzenleme de yaparsak,

a kare

elde ederiz.

Bu durumda 2’nin bir katı olan a kareifadesi bir çift sayıdır. Ee, a kareifadesi çift ise bu durumda a sayısı da çift olmak zorundadır değil mi? Bu durumda da a sayısı 2c biçiminde yazılabilen bir sayıdır. Yukarıda eşitliği alalım ve,

2 b kare

biçiminde yazalım. Her iki tarafı da 2’ye bölelim ve karşımıza çıkan eşitliğe bakalım.

kara kök

olacaktır. İfadeye bakıldığı zaman b kareifadesi 2’nin yine bir katı olduğu için çift olacaktır.ifadesi çift ise bu durumda da b sayısı çift olmalıdır. Bu durumda da hem a hem de b sayısının bir ortak böleni olacaktır. Bu da 2 sayısıdır. Fakat bizim ilk orijinal fikrimiz rasyonel olduğunu kabul edip (a,b)=1 ifadesinin sağlanması idi. Bu durumda karşımıza bir çelişki gelecektir. Dolayısıylasayısı rasyonel olmayıp irrasyonel bir sayıdır. Siz de herhangi bir köklü sayıyının kanıtını aynen bu şekilde yapabilirsiniz.

kare kök 2

Bu sayının keşfi ise yukarıda da bahsettiğimiz üzere Hippasus of Metapontum (Hippasus) adlı matematikçi ve felsefecinin suda boğularak öldürülmesi – köklü sayıların mucidi diyebiliriz- ile bizlere kadar ulaşmıştır. Ama okurun o dönemler kıyametlerin koptuğunu da unutmaması gerekmektedir.

Yazımızı Beğendiniz mi?
Önceki İçerikZaman Nedir
Sonraki İçerikKevlar Nedir
Mushab Bedirhan Andız

Matematiğin eşsiz dünyasında kaybolmuş araştırma ve çalışmaktan büyük bir keyif alan, matematiksiz her saniyenin kendisi için kayıp bir an olduğunu düşünen matematik çalışamadığı günlerin telafisini ağlayarak affettirmeye çalışan, içindeki bu heyecanı, aşkı, tutkuyu dindirmek için yazmak zorunda kalan matematikçi…

6 Yorum

  1. Bir hatırlatma doğal sayılar ülkemizde 0, 1, 2, 3, 4, 5 şeklinde müfredata girmiştir. Ancak doğal sayılar yani Naturel Numbers, Cantor matematiği ile evrenselleşmiştir ki G. Cantor’ın doğal sayılar dediği seri Mushab Bey’in tümcesinde de geçtiği şekilde 1’den başlamaktadır. Eskiler adeti mürettip derler tam sayılara ve tanımı harfi harfine Cantor’n meşhur kitabında* : “An integer is natural if and only if it is greater or equal to 0.”- (“Eğer tamsayı sadece sıfırdan büyük veya eşit ise tamsayı doğaldır.”) şeklinde geçmektedir.

    Ülkemizde; 1, 2, 3, 4, 5, … şeklindeki sayılar kümesi pozitif tam sayılar kümesi olarak adlandırılıyor halbuki litreratürde bu sayılar Naturel Numbers iken bu sayılara 0 eklenince oluşan küme Whole Numbers (bütün sayılar kümesidir.)

    Şimdi o halde -1, -2, -3, -4, ,-5, …. şeklindeki sayıları Whole Number’e eklersek ne olur denince, Integers (Sayılar [müfredatta Tam Sayılar diye anlatılan küme]) kümesi elde edilir.

    Bu kafa karışıklık, bizim eğitim ekolünde 20 yy başlarında avrupa ekolünü (alman ekolü) seçmemizden kaynaklanıyor.

    Özetle, Mushab Beyin tanımında cümlesinde bir sıkıntı mevcut değil. Doğal sayılar (Naturel Numbers) 0’dan başlamıyor.

    dipnot: books.google.com.tr/books/about/Contributions_to_the_Founding_of_the_The.html?id=W1gNAAAAYAAJ&redir_esc=y

  2. Mushab Bedirhan Bey, Zeynep Hanım’a verdiğiniz cevapta a sayısına doğal sayı demeniz bence yanlıştır. Çünkü bildiğimiz gibi doğal sayılar 0’dan başlar.(Her ne kadar 0’ın doğal sayı olup olmadığı tartışılsa da.)
    0 sayısı MS 9.yy’da kullanılmaya başlanmıştır.
    Ama yukarıdaki yazınızın geçtiği zaman tahmini olarak MÖ 6.yy’da yaşanmıştır.
    Örnek olarak da biz a ile b aralarında asal dedik ve a sayısını doğal sayı olan 0 kabul edersek ve 0 sayısı ile aralarında asal olan bir b sayısı olmayacağını görmüş bulunmaktayız.

  3. a kare ifadesi cift bir sayıdır kısmında a nın cift bir sayı olmasına gerek yoktur mesela a kök 6 olsa a kare ifadesi yine cift bir sayı olmaz mı?

    • Aman Zeynep Hanım,
      a bir irrasyonel sayı değil. a herhangi bir doğal sayı. Şayet siz a yerine kök 6 alırsanıza kök içerisinde kök 6 olacaktır. Fakat bu şekilde de hiçbir yere ulaşamayız. a kare eğer bir çift sayı ise a mutlaka çift olmalıdır.

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.