Ana Sayfa Matematik Collatz Sanısı Nedir

Collatz Sanısı Nedir

Merhaba arkadaşlar , bugün sizlere 2000 yılında resmi olarak Clay Matematik Enstitüsü tarafından soru başına 1 milyon dolarlık ödül ile birlikte yayınlanan 7 milenyum sorularından biri olan Collatz Sanısı hakkında bilgiler vereceğim.

Bilindiği üzere bu milenyum soruları şu anda çözüm bekleyen matematiğin en zor sorularıdır. Bu 7 sorudan oluşan imkansızlık abidelerinden ise bugüne kadar sadece birinin çözümü gerçekleşmiştir. Grigori Perelman adındaki rus matematikçi bu 7 sorunun en imkansızı olarak görülen Poincare Varsayımını 2002 yılında yayınladığı 33 sayfalık makale ile fiilen çözmüş ancak 2006 yılında doğruluğu kanıtlanabilmiştir. Bu 4 yıllık süre içerisinde gerekli saygıyı görmediği düşüncesiyle kendisine verilen matematiğin nobeli olarak görülen Fields madalyasını ve 1 milyon dolarlık ödülü reddetmiştir. Bu olaylardan sonra 7 milenyum sorusu 6 ya düşmüş ve birinin çözülmesi bu bilimle uğraşanlara umut ışığı olmuştur. Gel gelelim bu muhteşem sorulardan belkide en anlaşılırı olan Collatz Sanısına.

Lothar Collatz, bundan tam 77 yıl önce kendi ismiyle anılan kısaca “tüm sayıların 1’e indirgenmesi mümkündür” tezini ortaya atmıştır. Probleme göre , herhangi bir sayı seçiyoruz, sayı tekse 3 ile çarpıp 1 ekliyoruz , sayı çiftse 2 ye bölüyoruz. Bu işlemleri sayı üzerinde devamlı uyguluyoruz. Açık olan soru şudur: bu tanımı tüm sayılara uyguladığımızda bizi 1’e götürürmü? Örnek verecek olursak:
5 sayısını ele alalım. 3 ile çarpıp 1 ekleyelim , sonuç: 16 elimizde çift bir sayı oluştu ve tanıma göre 2 ye bölelim , sonuç : 8 ve işlemleri tanıma göre devam ettirelim , 4-2-1 … Sonuçta 1 sayısına ulaştık.
Başka örnekler verelim:

3=> 10-5-16-8-4-2-1
13=> 40-20-10-5-16-8-4-2-1

Ve birazda sonuca nazaran örnekler verelim. Tanıma göre; 2sayısı 1 adımda, (2 = 1)
3 sayısı 7 adımda, (3 = 7) Oluşmaktadır.

siber güvenlik
  • 4=2
  • 5=5
  • 6=8
  • 7=16
  • 8=3
  • 9=19

10 ise 6 adımda 1 sayısına ulaşmakta ve böylece devam etmekte. Eğer soruyla uğraşırken 27 sayısına gelirseniz soruyu çözdüm diye hemen sevinmeyin! Çünkü 27 sayısı 111 basamakta 1 sayısına ulaşmakta. Bugüne kadar ilk 20 * (2^58) sayı denenmiştir. Ve hiçbir bağıntı bulunamamakla birlikte tüm sayılarda 1′ e indirgenmiştir. Biraz önceki 27 sayısındada olduğu gibi sayılar alakasız bir biçimde 1′ e geçte ulaşabiliyor , erkende…
Yazımızı özetleyecek olursak, Grigori Parelman‘ın en imkansız olarak görülen Poincare’ yi çözmesinin en kolay olarak görülen Collatz’ ın çözülmesine ışık olduğu bu dönemlerde belki farkına varılmalıdır ki en kolayı aslında en zorudur! Yani aslında ben sizlere bu 6 harika sorunun en zorunu paylaşmış bulunmaktayım.
Okuduğunuz için teşekkür ederim.

İlginizi çekebilecek diğer yazımız : Su İçerisindeki Hidrojen Sayisi

arıcılık malzemeleri
Muhammed Işci
Muhammed Işci
Merhabalar. Ben Muhammed İŞCİ. Mühendis Beyinler sitesinde yazarım. Konularımı genellikle Matematik ile ilgili seçmekteyim. 1995 doğumlu olup 2013 yılında Kayseri Lisesi'nin, nam-ı diğer Taş Mektebin 120. yılı mezunlarındanım. Aynı yıl içerisinde de Erciyes Üniversitesi Mekatronik Mühendisliğini kazanmış bulunmakla birlikte burada öğrenimime devam etmekteyim. Amacım: Bilime aç bir gelecek inşa etmek. Amatör Matematikçiden Sevgilerle...

12 Yorum

  1. COLLATZ SANISI ÇÖZÜMSÜZ

    GARİP AMA GERÇEK

    Collatz sanısı: m = tek sayı ve x= sıfırdan büyük pozitif tam sayı(1,2,3,4,….k) olmak koşulu ile (2^x)*m)-1 şeklinde yazılan herhangi bir n tek sayısı için bir işlem (3n+1)/2 olarak alındığında, (2^x)*m)-1=n şeklinde yazılan bir sayı için (x) defa (3n+1)/2 şeklinde işlem yapılmak zorunda kalınır. Çünkü (x-1) defa işlem tek sayı çıkar. (x) inci ilem yapıldığında sayı çift sayı olur. Ama yinede bu hesap gözünüzü korkutmasın. İşlem sonucu (2^x)*m)-1=n şeklinde yazılan bir tek sayı (3n+1)/2 şeklinde x. inci işlem yapıldığında (3^x)*m)-1 olarak çift sayı olur. Bu kendi bulduğum formül sayesinde collatz sanısı için çözümün olmadığı bir sayının olabileceğini ispatlıyorum.
    Collatz sanısı çözümsüz
    ispat: test edeceğimiz tek sayıyı (2^x)*m)-1=n olacak halde yazdığımızda her tek sayı için uygulanan (3n+1)/2 işlemi ile ilk çift sayı (x) inci işlemin sonunda oluşur x= sonsuz olduğunda ise çözüm yoktur. Çünkü işlem sonsuz eksi bir defa tek sayı çıkacaktır. Sonsuzuncu işlem yapılsa idi, çift sayı çıkacak idi. ayrıca sonsuz eksi bir ifadesini veren sayı yoktur. Ama sonlu bir sayıyı ifade etmek amacı ile bu terim kullanılır.

    Örnek verecek olursak:
    (2^x)*m)-1=n denkleminde
    x=3 ve m=7 olarak alacak olursak
    (2^3)*7)-1 = n
    (8)*7) -1= n
    (56)-1=n olur
    n=55olur

    Normal hesaplama ile bu işlemi yaparsak işlemin x defa yapıldığını göreceksiniz. (x)=3 olduğuna göre 3 defa işlem yapacağız. yani kısaca (x) sayısı herhangi bir çift sayıyı tek sayı çıkana kadar ardarda iki ile böldüğümüzde kaç defa 2 ile bölüne bildiğini gösterir.
    Biz test edeceğimiz tek sayıya 1 eklediğimizde sayı çift sayı olur. Bu çift sayıyı (2^x)*m ) haline getirip 1 çıkarırsak oluşan sayı yine bizim test yaptığımız tek sayı olur. Son hali ile test sayımız (2^x)*m)-1=n şeklinde olur. Şimdi örneğimizi bu halde yazalım.
    55+1=56 Bu sayının kaç defa iki ile tam olarak bölündüğünü ve en son 2 ile bölümünden sonra çıkan tek sayıyı bulalım. Yani (x) ve (m) sayılarımızı bulalım. Test sayımız zaten belli, yani n=55
    55+1=56 dan

    1) 56/2=28
    2) 28/2=14
    3) 14/2=7
    x=3 ve m=7
    tek sayımız son hali ile (2^3)*7)-1=55 oldu tek sayı için uyguladığımız collatz işlemi (3n+1)/2 idi
    1) işlem (55*3+1)/2=83
    2) işlem (83*3+1)/2=125
    3) işlem (125*3+1)/2=188

    (x) Defa (3n+1)/2 şeklinde yapılan ardışık işlemlerin sonunda oluşan çift sayı (3^x)*m)-1 olacaktır.
    Tek sayımız (2^x)*m)-1=n idi. Değerler yerine konulduğunda (2^3)*7)-1=55 şeklinde olur. Yine aynı şekilde değerleri ilk çift sayının kaç olduğunu bulmak için formülümüzde yerine koyarsak
    (3^x)*m)-1 = (3^3)*7)-1 olur
    (3^3)*7)-1= (27)*7)-1=188 sonuç bu şekilde de bulunur

    Bu formül (2^x)*m)-1=n haline getirilmiş bütün tek sayılar için geçerlidir. Her tek sayı da bu halde yazılır zaten.

    İrfan Aydoğan
    doktor0906@hotmail.com

  2. Daha 14 yaşındayım collatz sanısının doğruluğunu araştırmak için bir gün uğraştım 26,847 den itibaren bayağı uğraştım ………..sonuç doğruymuş..

  3. dear, i am outitic, brain damage.

    my English very bad, please forgive.

    but not problem. i look full picture, sometimes.

    collatz algo(t)ritm how?

    algorithm go funy: algo-trithm-a :)

    people: cleaver, mindfull, make math thinkable.

    but sometimes, very simple things not solved by many people, how?

    for example people very late find negative numbers and zero. a few thousand years ago, how not before?

    for example people very late find complex domain numers. a few hundred years ago, how not before?

    a child solved this problem, but she not explain until 2019 spring or newer!

    collatz algorithm, how usefull?

    1)for algorithms infinity loop problem, easy solved by some technics.

    for example n mod 2 then n=n/2 else n=3n-1 : infinity loop. sample walue 5: 5.3-1=14 14/2=7 7.3-1=20 20/2=10 10/2=5

    2)semi-inteligent algorithm some technics, so: less energia and time posible.

    3)semi-inteligent algorithm some technics, so: we look full picture easy.

    4)semi-inteligent algorithm some technics, forward and backward direction.

    5)semi-inteligent algorithm some technics, need very big memory, disaventage, but may be avantage, because: something more need, this thing very easy appear and cheap!

    6)serial procces one level up.

    7)…

    8)…

    9)…

    if we look, semi-inteligent method for collatz step values:

    2 -2 -1

    3 -3 -7

    4 -4 -1 ######

    5 -5 -1

    6 0 -2

    7 -1 -10

    8 -2 -1

    9 -3 -4

    10 -4 -1 ######

    11 -5 -1

    12 0 -2

    13 -1 -1

    14 -2 -1

    15 -3 -9

    16 -4 -1 ######

    17 -5 -1

    18 0 -2

    19 -1 -5

    20 -2 -1

    21 -3 -3

    22 -4 -1 ######

    23 -5 -1

    24 0 -2

    25 -1 -4

    26 -2 -1

    27 -3 -95

    28 -4 -1 ######

    29 -5 -1

    30 0 -2

    31 -1 -1

    32 -2 -1

    33 -3 -4

    34 -4 -1 ######

    35 -5 -1

    36 0 -2

    37 -1 -3

    38 -2 -1

    39 -3 -12

    40 -4 -1 ######

    In all integers with 6K + 4, the number of steps is 1!

    always a step without exception, this place is important.

    Of course, when we say the number of steps, we don’t mean steps like the one in the understanding that is the normal number of steps in the problem.

    Our new understanding of the step does not process unnecessarily, little more intelligent, so more time and more energy-saving.

    What are the numbers 6K + 4?

    4,10,16,22,28, … 4 starting integers and 6 increasing integers.

    if these integers are subtracted 1 and divided into three, it always becomes an odd number.

    Let: 1,3,5,7,9, …

    You’re going to run the algorithm backwards. Yes I did. Is there a ban?

    Is the single number obtained according to the odd number rule x3 +1 to 6k + 4 gives the exact number, yes, so no problem.

    We have achieved all the odd numbers.

    All single counts without exception!

    multiply the odd numbers by 2.

    You’re running the algorithm backwards.

    no problem, each integer multiplied by two is an even number.

    Isn’t it free to split any pair of numbers in normal case?

    o hlde multiply the odd numbers by two:

    1,3,5,7,9,11,13, …

    x2

    x2

    2,6,10,14,18,22,26, …

    without exception all 4k + 2 numbers were obtained.

    4k of backwards double numbers were missing.

    4k + 2 counts are multiplied by two:

    2,6,10,14,18,22,26, …

    x2

    4,12,20,28,36,44,52, …

    what are these?

    8k + 4 is not the double numbers?

    We’ve got some of the double numbers with 4k.

    Multiply again by two:

    4,12,20,28,36,44,52, …

    x2

    8,24,40,56,72,88,104, …

    what are these?

    Double numbers with 16k + 8.

    multiply these numbers by two:

    There are double numbers with 32k + 16.

    Multiply again by two:

    There are double numbers with 64k + 32.

    with the superposition of the infinite arrays, such that

    There are double numbers with all 4k + 0.

    Do not be excited by the two if I object to my non-stop multiplication.

    just as I explained earlier, we run the algorithm in reverse, we are not breaking any rules.

    formed numbers always double.

    x2 re x2 re x2 … endless repeat like every element of the knees: double.

    backwards, I’ve run the reverse of this Algorithm those who love this x2, x2, … in the series if you run straight to divide is not clear that the case is not clear?

    In 4k + 0, I would like to show a visual feast of double numbers in the form of 4k + 0 with the superposition of infinite arrays:

    4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,92,96,100,104,…
    -___-_____-_____-_____-_____-_____-_____-_____-_____-_____-_____-______-______
    __-__________-___________-___________-___________-___________-_____________-__
    _______-_______________________-_______________________-______________________
    ___________________-_______________________________________________-__________
    ___________________________________________-__________________________________

    for each broken line 4k + 0: times two: x2, x2, x2 …. with the contribution of terms in the infinite series x2 is the level of contribution is clear.

    Now, what do we do?

    we saw that all positive real integers could be achieved.

    From the point of view, we achieved this by means of an integer of 6k + 4 which was obtained by an intelligent step.

    there is only one point to be proved.

    In the case of the ‘intelligent’ algorithm, all 6k + 4 terms can all be obtained without exception, at most one step.

    other numbers are obtained in several steps, it is not our business.

    other 6k + 0, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 5 integers, with multiple or few steps

    6k + 4 from a complete number of steps (easily even though the number of steps) can be obtained with a little time, I proved the most general.

    for example: 1412987847 in the raw form of the initial problem,

    primitive state of the colatz algorithym, even if you do not even think of changing the classic step with the understanding of the number 1 reaches a full thousand steps.

    The number of steps in the classical state is no longer for us to wonder for the meaning of nostalgia, maybe more for the dry noise.

    6k + 4 numbers in just one step of the intelligent. ‘intelligent’ proving proof that the beloved dear number lover, the rest of the already I’m ready for proof: how semi-inteligent only one step every 6n+4 integers?

    it’s easy to prove it, but I’ll stop a little bit, right?

    For those who want to enjoy the proof, we also need to open doors for those who want to do more serial work.

    if term

    fi

    if ends with fi.

    yaa what is this? I wondered, forward and backward functioning algorithm could be developed, wondering, very little people came out.

    Let’s not beat and crush children.

    If the curiosity in children is quenched, it becomes more difficult to regenerate.

    if we can use semi-inteligent method:

    3n+3 or 3n+5 infinity loop, sample value:3

    3n-1 or 3n-5 or 3n+7 infinity loop, sample value:5

    3n-7 infinity loop, sample value:7

    new 3 case problem, semi-inteligent method, only one step table:

    if n mod 3 =0 then n=n/3 else if n mod 2 =0 then n=n/2 else n=3n+1

    ..23..

    0.2.45

    01.345

    ..234.

    0.2..5

    0.2345

    ..234.

    0.2.45

    01.345

    ..234.

    012..5

    012345

    ..234.

    0.2..5

    0..345

    .1234.

    0.2..5

    012345

    ..234.

    0.2..5

    012345

    ..234.

    18n+2, 18n+6, 18n+12

    or

    18n+3, 18n+11, 18n+17

    at least two different cycle there are.

    if 3 case problem: 7 , 31, 127 big steps elements:12,92,25

    but we are only look one step elements.

    this type problems only cycle, modulos, logical (if we think inteligent)

    18n+2, 18n+6, 18n+12

    or

    18n+3, 18n+11, 18n+17

    real semi-inteligent step table:

    2 -2 -1

    3 -3 -1

    4 -4 -2

    5 -5 -4

    6 0 -1

    7 -1 -12

    8 -2 -1

    9 -3 -2

    10 -4 -1

    11 -5 -1

    12 0 -1

    13 -1 -1

    14 -2 -2

    15 -3 -1

    16 -4 -1

    17 -5 -1

    18 0 -2

    19 -1 -5

    20 -2 -1

    21 -3 -1

    22 -4 -1

    23 -5 -7

    24 0 -1

    25 -1 -4

    26 -2 -1

    27 -3 -2

    28 -4 -2

    29 -5 -1

    30 0 -1

    31 -1 -92

    32 -2 -1

    33 -3 -1

    34 -4 -1

    35 -5 -1

    36 0 -2

    37 -1 -4

    38 -2 -1

    39 -3 -1

    40 -4 -1

    41 -5 -4

    42 0 -1

    43 -1 -9

    44 -2 -1

    45 -3 -2

    46 -4 -1

    47 -5 -1

    48 0 -1

    49 -1 -1

    50 -2 -2

    51 -3 -1

    52 -4 -1

    53 -5 -1

    54 0 -2

    55 -1 -7

    56 -2 -1

    57 -3 -1

    58 -4 -1

    59 -5 -10

    60 0 -1

    61 -1 -1

    62 -2 -1

    63 -3 -2

    64 -4 -2

    65 -5 -1

    66 0 -1

    67 -1 -1

    68 -2 -1

    69 -3 -1

    70 -4 -1

    71 -5 -1

    72 0 -2

    73 -1 -4

    74 -2 -1

    75 -3 -1

    76 -4 -1

    77 -5 -3

    78 0 -1

    79 -1 -9

    80 -2 -1

    81 -3 -2

    82 -4 -2

    83 -5 -1

    84 0 -1

    85 -1 -4

    86 -2 -2

    87 -3 -1

    88 -4 -1

    89 -5 -1

    90 0 -2

    91 -1 -1

    92 -2 -1

    93 -3 -1

    94 -4 -1

    95 -5 -11

    96 0 -1

    97 -1 -4

    98 -2 -1

    99 -3 -2

    100 -4 -2

    101 -5 -1

    102 0 -1

    103 -1 -1

    104 -2 -1

    105 -3 -1

    106 -4 -1

    107 -5 -1

    108 0 -2

    109 -1 -4

    110 -2 -1

    111 -3 -1

    112 -4 -1

    113 -5 -4

    114 0 -1

    115 -1 -5

    116 -2 -1

    117 -3 -2

    118 -4 -2

    119 -5 -1

    120 0 -1

    121 -1 -1

    122 -2 -1

    123 -3 -1

    124 -4 -1

    125 -5 -1

    126 0 -2

    127 -1 -25

  4. Herneyse açıklıyorum. Kanıt:
    Eğer tüm doğal sayıları 2 ye ayırırsak bunlar tekler ve çiftler olur. Ve probleme göre çift sayılar probleme göre azalma eğilimindedir. Yani 2n şeklinde yazılabilen her sayı azalmaya eğilimlidir. Şimdi gelelim tek sayılara, tek sayılar 4n +1 ve 4n+3 diye iki diziye ayıralım. 4n +1 dizisi , 3 katı alınıp 1 eklendikten sonra 2 kere 2 ye bölünür ve 3n+1 bulunur. Demek ki 4n+1 dizisi azalmaya eğilimlidir. Aynı şekilde işlemler yapıldıgında 4n+3 dizisi ise artmaya eğilimlidir. Buna gore her hangi bir doğal sayı geçildiğinde bu sayı 3/4 oranında azalmaya eğilimlidir. Şimdi Collatz problemine göre asla 1 i bulmayacak bir sayı olduğunu farz edelim o zaman bu sayıya sonsuz defa işlem yapabiliriz. Ve olasılık bilgimize göre bir olayı sonsuza kadar tekrar edersek bu olayın olasılığı teorik olasılığa yaklaşır. Yani biz bu sayıya yaptığımız her işlem sonucu azalıp artmadığını not alıcak olursak sonsuz işlem sonunda azalışların toplam işleme oranı 3/4 e yaklaşıcaktır. 1 den büyük bir sayının sonsuz işlem sonucu azaldığı halde 1 e yaklaşmaması imkansızdır. Demek ki Collatz problemine göre asla biri bulmayacak bir sayı yoktur.

  5. Matematik ile amatör olarak ilgileniyorum. Collatz probleminin çözümüne yönelik olarak yaptığım çalışmalardan derlediğim notlarımı kitap olarak yayımladım. Kitabım altı bölümden oluşmakta, benim en çok sevdiğim bölüm, kitabın ikinci bölümünde yer alan örüntü ve bu örüntü üzerinden oluşturulan tablo. Tablo üzerinde, sadece bölme işlemi yaparak, sayıların 1’e inişini izlemek çok zevkli. Kitabımın adı ” Collatz Problemi Çözümü Üzerine Çalışma Notları.

  6. Bu arada bi formül yaptım… 1000 e kadar en çok bu işlemi gören sayı 871… 178. işlemde 1 e ulaşıyor. 937 ise 173. işlemde son buluyor.
    Ama ilginç olan 1000 ile 2000 arasında 4 sayı birden en uzun sayı olarak birinciliği paylaşıyor… 1665, 1695, 1742 ve 1743 sayıları 179. işlemleri sonrası 1 e indirgenebiliyor.
    Seviyorum matematiği…

  7. Bu konuyla ilgili bir proje yürütülüyor.

    Bilgisayarlar ortak olarak işlemci zamanlarını birlikte kullarak tüm sayılara bu formülü uyguluyorlar.

    Türkiye’den de bu çalışmaya katılan bir grup mevcut (Türk Seti Team). Eğer bu konulara meraklıysanız, küçük bir yazılımla(boinc) ve kendi kullanıcı adı/şifrenizle programa katılıp, bilgisayarlarınızın boş zamanlarında bu ve bunun gibi bir çok projeye katkı sağlayabilirsiniz.

    Uzun soluklu projeler…

  8. Ben bu soru üzerinde 4 yıldır uğraşıyorum hiç böyle bi derdim olmadı HK :) soruyu gerçekten çözersen kime sunacağınıda çözersin :) sağlıcakla kal… :)

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.

Yazar Ol arıcılık malzemeleri siber güvenlik

Yeni Yazılar

Meltblown Maske Kumaşı Nasıl Anlaşılır

Pandemi döneminde önemi giderek artan maskelerin bizi ne kadar koruyabildiğine dair herkesin aklında belirli başlı sorular gelmektedir. Bu makalede genel olarak en çok tercih...

Kolonya mı El Dezenfektanı mı?

Kolonya ve el dezenfektanları arasındaki fark nedir? Antiseptik özelliği hangisinde daha fazladır? Kolonya: Kolonya, su ve çeşitli esans karışımları ile yüzde 60 ile 80...

Parça Tasarımı Nasıl Yapılır

Mühendis beyinlerde yeni bir yazar olarak bir yazı dizisi başlatmayı planlıyorum. Bu yazı dizisinde bir makine parçasının bilgisayar ortamında modellenmesi hakkında bilgiler yer alacak. Bir...

Takla Atarken Fotoğrafı Bulunan Jandarma Helikopteri Sikorsky S-70’in Hikayesi

Yabancı haber sitelerine kadar düşen bu meşhur fotoğrafla ilgili internette bir bilgi kirliliği mevcut. Doğrusunu dinliyoruz. İnternette sağda solda bu helikopteri takla atarken gösteren bir...

Mühendislik Maaşları

Adli Bilişim Mühendisliği Maaşları

Adli bilişim mühendisliğinden mezun olan öğrencilerin iş olanakları fazlasıyla geniştir. Geleceğin mesleği olarak görülen bu mühendislik bölümünden henüz mezun sayısının az olması, mezun olan...

Gemi İnşaatı ve Gemi Makineleri Mühendisliği Maaşları

Merhaba arkadaşlar bu yazımızda gemi inşaatı ve gemi makineleri mühendisliği maaşları hakkında internetten araştırdığımız bilgileri sizlere sunacağız. Gemi inşaatı ve gemi makineleri mühendisliği, sık sık...

İnşaat Teknolojisi Bölümü Maaşları

İnşaat teknolojisi bölümü inşaat sektörünün giderek gelişmesiyle beraber ortaya çıkan bir bölümdür. Bölümden mezun olanlar çeşitli kurumlar da ve iş sahalarında iş bulabilir. İnşaat...

Acil Tıp Teknisyeni Maaşları

Bu yazımda acil tıp teknisyeni maaşları hakkında bilgilendireceğim. Sağlık Bakanlığı bünyesinde kaza geçirmiş hastalara fiziki veya ruhen destekleyici ilk müdahaleyi yaparak, hastaneye yetiştirilmesinde önemli...