Moleküler Hız Dağılımı

46
Moleküler Hız Dağılımı

1860 yılında James Clerk Maxwell (1831-1879) moleküler hız dağılımını oldukça doğru tahmin eden bir bağıntı türetmiştir. Maxwell ve diğer araştırmacılar tarafından yapılan çalışmalar çelişkiler içindeydi. Çünkü o yıllarda molekülleri doğrudan algılayabilecek yeterli deneyler yapılamıyordu. Fakat 60 yıl sonra yapılan deneyler Maxwell’in öngörülerini doğruluyordu.

Bir kap içindeki gaz molekülleri aynı hız dağılımına sahip olsun. Örneğin hızları 400-410 m/s aralığında olan kaç tane gaz molekülü olduğunu tayin etmek istediğimizi varsayalım. Sezgisel olarak, hız dağılımının sıcaklığa bağlı olmasını, hatta Vkök yakınında dağılımın bir tepe noktasının bulunmasını bekleriz. Yani hızları Vkök değerinden çok az veya çok fazla olan sadece birkaç molekül beklenir. Çünkü böyle aşırı büyük ve küçük hızlar ancak, olası görünmeyen zincirleme çarpışmalardan ortaya çıkar.

Şekil 1. Belirli bir sıcaklıkta gaz moleküllerin hız dağılımı, karalığındaki molekül sayısı, taralı dikdörtgenin alanı N dv ye eşittir, v hızı sonsuza giderken N fonksiyonu sıfıra yaklaşır.
Şekil 1. Belirli bir sıcaklıkta gaz moleküllerin hız dağılımı, dv aralığındaki molekül sayısı, taralı dikdörtgenin alanı Nv dv ye eşittir. v hızı sonsuza giderken N fonksiyonu sıfıra yaklaşır.

Isıl dengeye ulaşan gaz moleküllerinde gözlenen hız dağılımı Şekil 1’de gösterilmiştir. Maxwell Boltzmann dağılım fonksiyonu denilen Nv niceliği aşağıdaki gibi tanımlanır:

Eğer moleküllerin toplam sayısı N’ise, hızları v ile v + dv arasında olan moleküllerin sayısı dN = dv/N’dir. Bu sayı aynı zamanda Şekil 1’deki gölgeli dikdörtgenin alanına eşittir. Üstelik hızı v ile v + dv arasında olan moleküllerin kesri Nv dv/N’dir. Bu oran aynı zamanda, bir molekülün hızının v ile v+ dv arasındaki olasılığına eşittir.

N sayıdaki gaz moleküllerinin hız dağılımını ifade eden temel ifade aşağıdaki gibidir.

gaz moleküllerinin hız dağılımı

Burada m bir gaz molekülünün kütlesi, kB Boltzmann sabiti ve T mutlak sıcaklıktır. E= 1/2(m.v2) olmak üzere Boltzmann çarpanı olan е-E/kBT nin görüşünü inceleyiniz.

Şekil 1’den de görüleceği gibi, v ortalama hızı, Vkök (Vrms ) hızından biraz küçüktür. Vmp en muhtemel hızdır. Bu hızda, dağılım eğrisinin tepe değerine ulaşılır. Üstteki eşitlik kullanılarak aşağıdaki eşitlikler bulunur:

Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç elde edilir.

sonuç

Şekil 2. N2 moleküllerinin karakteristik hız dağılım eğrilerini göstermektedir. Sayfamızın en üstündeki Neşitliği kullanılarak, 300 К ve 900 К gibi değişik iki sıcaklıkta, farklı hızlardaki Nv değerleri hesaplanarak bu eğriler çizilmiştir. Sıcaklık artarken eğrinin sağa kaydığına dikkat ediniz. Bu beklendiği gibi artan sıcaklıklarla ortalama hızın arttığını gösterir. En düşük hız olasılığı sıfıra giderken, en yüksek hız sınırı sonsuza gittiği için, eğrilerin şekli simetrik değildir.

Şekil 2. Azot molekülü için, 300 К ve 900 К de hız dağılım fonksiyonu. Her iki eğri altında kalan toplam alan, toplam molekül sayısına eşittir.
Şekil 2. Azot molekülü için, 300 К ve 900 К de hız dağılım fonksiyonu. Her iki eğri altında kalan toplam alan, toplam molekül sayısına eşittir.

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.