Asal Sayıların Dağılımları Üzerine Bir Çalışma

22195
asal sayılar

Asal Sayılar ile ilgili birçok yazı yazıldı. Bu sayılar matematikçilerin her zaman ilgisini çekti ve çekmeye de devam edecektir. Birçok matematikçi asal sayıları veren formül üzerinde çalışsalar da maalesef çözüme ulaşamışlardır. Asal sayının ne demek olduğunu anlatmadan balıklama olarak konuya giriş yapalım.

Matematikçiler asal sayılar için bir formül bulamasa da son basamakları hakkında bir fikir üzerinde çalışıyorlar. Asal sayılar genellikle aynı sayı çiftlerinden oluşmayı sevmezler. Mesela 22 asal bir sayı değil aynı rakamlar yan yana gelmiş. Ya da 121 sayısının son rakamı 1 ve içinde 1 rakamı olduğu için yine asal sayı olamadı. Mantıklı… İlk milyar tane asal sayı çiftleri arasında yapılan çalışmada sonu 9 ile biten asal sayıların izledikleri sayı %60 oranında son basamağı 1 olan bir asal sayı olduğu görülmüştür.

Mart ayında sunulan bir makalede bu çalışma daha detaylı incelenmiştir. Stanford Üniversitesi Matematikçilerinden Kannan Soundararajan ve Tufts Üniversitesinden Robert Lemke Oliver ilk 400 milyar asal sayıyı incelediklerinde gitgide bu kuralın daraldığını ve asal sayılar büyüdükçe eğilimin çok yavaş biçimde azaldığını sunmuşlardır. Buradaki eğilim kelimesi, son rakamı 9 ile biten bir sayıdan sonra sonu 1 ile biten bir asal sayı gelmesi sıklığı olarak algılanmalıdır.

Peki yukarıda söz ettiğimiz matematikçilerin şok olması ile bunun ne ilgisi var. Asırlardan beri insanoğlu asal sayıları şifre bilimi – Kriptoloji – alanında kullanmaktadır. Birçok sistem veya bilgisayar uzmanları asal sayılarla adeta dans etmektedir. Özellikle Ramanujen gibi matematik dehasının – ki gerçekten sayı teorisi alanında uzmandır – asal sayılar üzerine birçok çalışması olmasına rağmen maalesef onların dağılımları hakkında bir formül elde edemedi. Bu sayıların neden böyle çekici olduğu kişiden kişiye değişir?

Bu gelişme neticesinde ikiz asallar varsayımı hakkında da bir görüş ortaya atan ikili, asal sayı ikilisinin çok fazla olduğunu zannetmediklerini belirtmiştir. Asal sayılar ile ilgili çözülemeyen varsayım olan k-tubles dizilimi en merkezi açık problemlerden bir tanesidir.

Ayrıca Stanford Üniversitesinde gerçekleşen istatiksel bir çalışma da asal sayıların son basamaklarının 1,3,7,9 rakamları arasında dağılımlarının eşit frekanslara sahip olduğu gözlenmiştir.

Bu bulgu da matematikçileri şok etmişti çünkü genel anlamda bu alanda çalışan matematikçiler bir totem oluşturup en çok asal sayı çiftinin birler basamağının 7 olduğu üstünde düşünüyorlardı. Bu gelişme sayesinde asal sayılar hakkındaki gizemli düşünüş gittikçe artmaktadır.

Boğaziçi Üniversitesi Matematik Bölümünden Prof. Cem Yalçın YILDIRIM Türkiye’de bu alanda çalışan üst düzey bir bilim insanıdır. Dan Goldston ile yaptığı çok önemli bir çalışma sayesinde ikiz asallar sanısına bir çözüm modeli getirmeyi amaçlamıştır. Bu çalışmaların neticesinde Cole Ödülüne layık görülmesi çalışmanın ne kadar önemli olduğunu bizlere gösteren önemli bir kanıttır. (Bu ödül de üst düzey matematik çalışması yapan kişilere verilir. Etki değeri epeyce yüksektir. Umarım Cem Hoca bu zor varsayımı çözüp tarihe geçen insan olmayı başarır.

Referans

  1. -wired.com/category/science/
  2. -dangoldston.com/uploads/2/2/0/6/22063722/gpy4.pdf

4 Yorum

  1. Rüyamda tren gördüm, konuyu çözdüm.
    N mod 6
    N=2 ve N=3 hariç N>3 olan bütün asallar için ya 1 ve ya 5 olur.

    Ard arda asallar için N>3 için 1,1 veya 1,5 veya 5,1 veya 5,5 şeklinde sadece 4 seçenek olur.
    1,5 ve 5,1 ya eşit veya bir farklı olur.
    Bunda bir sır olmaz!

    1 =============

    5 =============

    Bir ve beş olan iki tren rayı olsun.
    Tren bir rayından giderken ister bir istasyonda, ister bir-kaç istasyon sonra beş rayına geçse alt raya geçti lambası yanar.
    Tren beş rayında giderken yine bir veya bir-kaç istasyonda bir rayı olan üst raya geçse alt raya geçti lambası söner.

    Lamba ya yanık veya sönük olur.
    Lamba yanma ve sönme sayıları ya eşit veya en fazla bir farklı olur.

    Bunda bir sır ve esrar aranmaz!

    N mod 4
    N>3 için asal sayılarda 1 veya 3 olur.
    Yine sadece iki seçenek olduğundan yukarda açıklanan iki ray ve ray arası makas geçişi hikayesi tekraren benzeridir.

    N mod 3

    N>3 için bütün asallarda 2 veya 1 dir.
    Ayrıca N mod 3 ve N mod 6 benzer sonuç verir.
    Bunu görmek kolaydır.
    6Ni+(1,5) asal şablonunda
    6Ni+1 olanlar 3(2Ni)+1
    6Ni+5 olanlar 3(2Ni)+3+2=3(2Ni+1)+2
    Konu sadece asal şablonların ikincisi ile kolayca izah edilebilir.
    Doktor, zihni faal tut, iyi gelir demişti.
    Anladım, zihin artık gidiyor, bunama başlamış, ne oldum deme, ne olacağım diye ihitmali göz ardı etme!
    Matematik bile yapamayınca insan ne kadar mahrum kalsa da, bilirken bilmez olsa bile, buna şükür deyip, matematik defteri kapanır.

  2. yadi .sk/d/MWDKuvqG3TUK3T
    3 lu ve 6 lı sayı düzenlerinde simetri var.
    ardışıl asal son hane için bakılsa tam simetri oluyor!
    bir farklı olan aslında tam simetrinin, simetriyi bozacak şekilde örnekleme aralığının sınırının simetri yapısını kesecek şekilde biraz eksik veya fazla olmasından kaynaklanıyor.
    asal sayılarda bu “tam simetri” nin esrarını çözemedim henüz.
    asal şablonlarla izah edilemez.
    hikmetini çözen olursa bana söylesin.
    insan ölümü tatsa bile merakı hiç kaybolmaz, ahir alemde söyleseniz geç olmaz, yeter ki merak etmeye devam.

  3. İlk milyar tane asal sayı çiftleri arasında yapılan çalışmada sonu 9 ile biten asal sayıların izledikleri sayı %60 oranında son basamağı 1 olan bir asal sayı olduğu görülmüştür.

    Bu ifadenin anlamı bana çok muğlak geldi, tam anlaşılamadı.

    1. ihtimal)

    sonu dokuzla biten asaldan (mesela 19 ) sonraki (izleyen) ilk asal sayının son hanesi %60 civarı ihtimalle birdir yani asal onlu sayı düzeninde yazılırken sonu birle biter.

    19 23

    29 31

    59 61

    79 83

    2. ihtimal)

    sonu dokuzla biten asalların (mesela 19) (izledikleri sayı) yani bir önceki asalın son hanesinin bir olma ihtimali %60 civarıdır.

    19 17

    29 23

    59 53

    79 73

    sonu 9,7,3,1 ile biten asallardan sonraki ilk asalın son rakamına, her bir ihtimal için baktım.

    9,1 9,3 9,7 9,9

    7,1 7,3 7,7 7,9

    3,1 3,3 3,7 3,9

    1,1 1,3 1,7 1,9

    hangi anlam kastedilirse kastedilsin, her 2den büyük asal durumu için ihtimal tablosu çıkardım:

    2 ila 2,2D7 yani 22 milyon aralığında:

    ikinci asal 1 3 5 7 9

    ________________________________________________________________________________

    ilk asal 9 === 116951 89212 0 81072 60001

    ilk asal 7 === 89049 95483 0 55552 107286

    ilk asal 5 === 0 0 0 1 0

    ilk asal 3 === 81197 55734 1 100797 109718

    ilk asal 1 === 60008 107017 0 109949 70231

    2 ila 2,1d9 yani yaklaşık ikimilyar aralıkta:

    ikinci asal 1 3 5 7 9

    ___________________________________________

    ilk asal 9 === 8219928 6556784 0 6187031 4758584

    ilk asal 7 === 6557686 6949693 0 4569835 7644611

    ilk asal 5 === 0 0 0 1 0

    ilk asal 3 === 6185455 4573074 1 7245755 7717206

    ilk asal 1 === 4757811 7641939 0 7719203 5601927

    %60 meselesinde diğer bir yanlış anlama olmalı.

    ilk tabloda: ilk satıra bakarız: ilk asal 9 iken

    120 bin, 90 bin, sıfır, 81 bin, 60 bin yazılı

    120+90+80+60=

    12+9+8+6=35

    12/35 %60 olmaz!

    diğer anlam kastedildi ise, yani ikinci sayı 9 ile biten asal iken bir önceki asal birle bitse denmişse, ilk tabloda ikinci asal 9 iken düşey bakarız:

    6+10+0+10+7=33

    6/33 yine %60 olmaz!

    ilk toblodan ilk satırda: 116 bin olanı 81 binden yani dokuzdan sonra yedi gelenden yaklaşık %60 fazla. %60 derken acaba bu mu kastedildi?

    Sonu dokuzdan sonra sonu birle biten %60 nerden çıktı?

    En yüksek ihtimal %40 ı geçmez!

    Bu %60 nerden çıkıyor anlamadım.

    Sonu dokuzla biten asaldan sonra sonu üçle biten asal ihitimali,

    Sonu dokuzla biten asaldan sonra sonu birle biten asal ihtimaline göre daha azdır.

    Peki nasıl oluyor da böyle? Asıl soru budur!

    Asal sayılar otuzdan büyük olanları için:

    30N+{1,7,11,13,17,19,23,29}

    formatında olur.

    Sonu dokuzla biten asaldan sonra sonu bir ihtimalinin daha çok olduğunu, sadece basit gözlemle, hiç adet için asal taraması yapmadan bile daha çok kolayca görmek mümkündür.

    Bunun nedeni basittir veya anlatılması uzun olsa bile aslında konu çok basittir.

    Aralarındaki mesafe iki olan asalların dağılım adedi, ki ikiz asal oluyor, yaklaşık eşittir aralarında başka asal olmayacak şekilde mesafe dört olan asallar.

    Yani aralarındaki mesafe iki olan asallar ile mesafe dört olan asaların adetleri çok yakındır.

    Her ikisi asal 30N+19 ile 30N+23 olan ikisi de asal adedi yaklaşık eşittir

    Her ikisi asal 30N+29 ile 30N+30+1 olan asal adedine(ki ikiz asal olur). yani dokuzla bitenden sonra bu formatta yani 30N+19 ve 30N+23 ile 30N+29 ve 30N+31 le bitenler benzer adet sayıyı verir.

    Her ikisi asal olan 30N+19 ve 30N+30+13 olan yani aralarında başka asal olmayan yani mesafe 24 olan asallar,

    Her ikisi asal olan 30N+19 ve 30N+30+11 olan yani aralarında başka asal olmayan mesafe 22 olan asallardan çoktur.

    İnsanın aklına, ( bu akıl değil zann oluyor tabii ki), mesafe 22 olanlar, mesafe 24 olandan daha çok oluyor diye gelir, hal bu ki değil mi?

    Değil işte.

    Bu durum 9 dan sonra 3 gelmesini, 9 dan sonra 1 gelmesine karşı destekler! Ama bu destek devede kulak kalır, Nedeni:

    Fakat mesafe 24 olanlar mesafe 12 olanlardan (30N+29 ve 30N+29+12) ile (30N+19 ve 30N+19+24) olana göre çok azdır kısaca 9 dan sonra 1 yerine 3 gelmesi ihtimalini yükseltmek için 24 ün 22 den çok olması yeterli olmaz!

    Ama sayılar büyüdükçe mesafe 12 olanlar görece azalırken, mesafe 24 olanlar görece,izafi,nispi olarak artar.

    Bahsi geçen büyük sayılardaki içyüzü entropik düzelme olan gözlem bununla ilgili.

    Mesele, sadece, asal primoryal şablonundaki asal mesafe kırtıklarının, iç yapısının, dağılımı ile ilgilidir.

    Ayrıca 210 dan büyük bütün asallar için daha ayrıntılı bakışla:

    210N+{

    1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,

    101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,

    169,173,179,181,187,191,193,197,199,209}

    biçiminde ele alınan asal sayıları, şablon formatında,

    çok daha ayrıntılı, uzuuun, ama böylece çok aslında çok daha basit, asal mesafe , bu mesafedeki asal adet sayı ihtimaleri görülür.

    Bunlar asal şablonlar konusuna girer. Asal şablonlar biraz kurcalansa goldbach tezinin ispatı kolayca mümkün olur.

    2 den 208 e çift sayılar için elle sağlandığını kolayca gösterip, akabinde

    210 dan büyük çift sayılar için asal cetvelin veya şablonun sağa tek sayılarla kaydırınca bütün çift sayıların örtüleceğini diğer bir deyişle asal cetvelin çift sayı olarak sağa kaydırılmasının süper pozisyonları ile bütün tek sayıların örtüleceğini , yani asal şablon kaydırmalarının süper pozisyonlarının örten olduğunu ispatlamak kolaydır, ama çok fazla sayfa tutar. Diğer yandan mesela aralarındaki mesafe iki olan asalların, mesafe dört olan asal adedine yakın olduğunu ispatlamak kolaydır ve riemann zeta fonksiyonu biraz kurcalansa, ispatı kolay ve kısadır!

    linkindeki primoryel şablon inceleme dosyasına bakarsan göreceksin ki, sene 2005 evvelinde trilyonlarca haneli asallar halogram metodla aleni hale geldiği yazılı. kripto için asal kullanımı ne kadar güvenli olur?

    primoryel şablon için eleman sayısı hesabı çok mühimdir,

    biraz ince elense aralık içinde yaklaşık olmayan kesin asal adedi

    elle konmuş gibi asal adedi tarayıp saymadan da bulunur.

    tabii ki açıklanması cinayet olur.

    bugünden yarına şifreleme sistemleri düzeltilemez!

    masum insanların şifreleme güvenliği riske atılamaz!

    o halde, primoryal hesap ile ilgili bundan daha derin bir keşfi olanın, açıklamaması evladır.

    bilen söylemez, söyleyen ise bilmez kaidesi devreye girer.

  4. “İlk milyar tane asal sayı çiftleri arasında yapılan çalışmada sonu 9 ile biten a”

    Satırda metin eksikliği var.

    Teşekkürler…

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.