Serilere Giriş

1081
Serilere Giriş

Okurun bu tartışacağımız matematiksel düşünme yetisine sahip olduğunu biliyorum. Şimdi çok basit olarak,

sayılarının toplamının kaç olduğunu söyleyebilir misiniz? Eh, az bir mantık ile bunun sonsuza gittiğini ya da matematikçiler için daha düzgün bir tabir olan “ıraksadığını” söyleyeceksiniz. Şimdi şu seriye bakalım. Bu biraz daha zor sanki. 1 var sonra 0.5 daha sonra 0.33, 0.25, 0.20 şeklinde gidiyor. Yukarıdaki desen açıktı. Git gide büyüyen sayılar toplanıyor. Ya aşağıdaki desen ya da toplam?

Bu seri için ise matematik bilmeyen bir insan insan için cevabın en fazla 2 olacağı gözler önüne gelir. 1’den sonraki tüm kısımlar 1’e ulaşır. Baş tarafta bulunan diğer 1 ile toplanırsa 2 ya da biraz daha farkötesi sayı gelir. Ama yukarıdaki seri de ıraksak bir seridir. Kanıt için lütfen limit kullanın. Bu yazıda ona değinmeyeceğim. Peki işler biraz daha karışık hale gelirse ne yapacağız. İşte şu örnek bize yardım edecektir.

Tahmin edici kalıplara bağlı olmayan sonsuz seriyi yazmanın daha iyi bir yoluna ihtiyacımız varmış gibi görünüyor. Neyse ki, bir tane var. En kolay anlaşılan bir örnek:

Toplam sembolü bize karmakarışık bir seriyi tanımlamamıza olanak sağlar. Üzerinde tanımladığımız değişkenler sayesinde serinin yakınsak mı yoksa ıraksak mı olduğuna karar vermemizi sağlar. Eğer şuanda bu sembol tanımlı olmasaydı yani Leibniz olmasaydı ve tanımlamamış olsaydı bu konular havada kalacaktı. Tabi ki Newton ve Bernoulli ekibini de hiçe saymak olmaz.

serisi aslında,

 serisinin tıpatıp aynısıdır. Aynı biçimde,

serisi ise,

aynı biçimidir. Belki bir adım daha giderek şu şekilde tanımlanan seri,

“i” değerinin değişkenine bağlı olarak,

biçiminde olacaktır. Özellikle matematik bölümlerinde ve mühendislik fakültelerinde Kalkülüs veya Analiz derslerinde bu seriler daha detaylı anlatılmaktadır.

Alternatif olarak pozitif ve negatif terimleri bulunan serileri bile ifade edebilirsiniz. Örnek olarak,

verilebilir. Siz de “i” yerine değerler vererek yukarıdaki serinin

eşit olduğunu görebilirsiniz! Okura hediyeli bir soruyu da sormadan geçemeyeceğim.

Yukarıda verilen seriyi toplam sembolü ile yazabilir misiniz? Eğer yazarım derseniz, ben de hediyenizi hazır ederim! Cevaplarınızı merakla bekleyeceğim!

Paylaşır mısınız?
Mushab Bedirhan Andız
Kendini matematiğe adamış, araştırma yapmaktan ve çalışmaktan haz duyan insanoğlu...

10 Yorum

  1. Ben serinin farklı bir eşitini toplam sembolü ile yazdım size gönderebilir miyim ? Bu arada nasıl gönderebilirim ?

  2. Musab hocam merhaba,

    Makalede son yazmış olduğunuz seri toplamında 1/i yı 1/-i yaparsak sonucu bulmuş olur muyuz .

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.