Sonsuzluk Kavramı

2335
Sonsuzluk

Sonsuzluk kelimesinin birçok insan için farklı farklı tanımı olabilir. Özellikle limit konusunda n sonsuza giderken ifadesini kullandıktan sonra sonsuzu bir yer ismi gibi (mesela Bursa) algılandı. Fakat sonsuzluk hiç de öyle basit bir konu olmadı. Olmayacak … Sonsuz hiçbir zaman bitmeyen bir şeydir. Peki şey ne? Okurun sıfat gibi bir kelime algılamasını istiyoruz. Bir kavanozun içindeki kum tanelerine bakın. 1.000.000.000.000 belki de daha fazla. İşte sonsuzun ne demek olduğunu bilmiyoruz fakat fiziksel olarak hissetmek istiyoruz. Hemen bir ayna alalım. Kendi arkamıza da başka bir ayna koyalım. Bu ayna da oluşan görüntü bize sonsuzluğun ne anlam ifade ettiğini biraz hissettirir. Tabiki ister istemez sonsuz kelimesini duyan her insan “çok büyük” anlamına gelen bir kelime olarak yorumlarlar. Fakat bazen bu çok çok çok küçük hatta tanımlayamayacağımız kadar küçüktür. AB doğru parçasındaki A ile B arasındaki nokta sayısı mesela.

Bunu kanıtlamak için iki noktanın arasında başka bir noktanın bulunduğunu kullanacağız. Bu noktaya C noktası diyelim. Şimdi hem AC hem de CB arasında başka noktalar var mıdır? Eveeet. Aynı işlemi yaparsanız sonsuza dek sürdüğünü göreceksiniz. AB noktası arasında sonsuz nokta vardır.

Paradoks: Nokta boyutu olmayan bir izdir. Ya da kalemin kağıda bıraktığı izdir. ( Ne demek ise ) Doğru ise boyutu olan bir geometrik şekildir. Peki boyutu olmayan şeyleri yanyana koyarsak nasıl boyut oluştur?

Pire masalını duyanınız var mı? Pire öyküsü bize sonsuzluğun anlamını biraz olsun hissetmemize yardım edecektir. Odanın içinde pire varmış. Odanın diğer ucunda olan arkadaşına ulaşması gerekiyormuş. Oda demek ki bayağı pis. Arkadaşı demiş ki; “Eğer her sıçrayışta kalan yolun yarısı uzunluğunda sıçrarsa odanın karşı tarafına asla ulaşamayacağını söylemiştir. Zeki bir pire. Okurun bu noktada Zenon paradoksu ile bir bağlantı kurduğunu zannediyoruz. Bizim pire ise arkadaşına kulak asmayıp varabileceğini iddia etmiştir. Hemen atlamaya başlamış. Yolun yarısını, sonra kalanın yarısını, kalanının yarısı…. Bu böylece devam eder, karşı tarafa ulaşmasına az kalmasına rağmen. Ve pire arkadaşına ulaşamadan ölür. Söylemiştik… Böylece sonsuzluğun büyük bir miktar olmasına rağmen sadece büyük yerlere değil küçük yerlere de sığdırabileceğini anladık.

Sonsuzluk ile ilgilenen birçok matematikçi olmuştur. Fakat öyle bir isim vardır ki resmen tehlikeli sularda sırt üstü yüzmüştür. Kümeler Kuramının baş mimarı George Cantor. Belki de Sezgisel olarak küme tanımlarını yapan, sonsuzluk kavramına yeniden ayar çeken insan… Zaten bu kadar derin konular ile ilgilenmesi onu depresyon denilen illet ile boğuşmasına neden olmuştur. Defalarca hastanede yatmıştır. Bunun olayın sadece matematiksel çalışmalarının sonucunda oluşmadığını biliyoruz. ( Çeşitli nedenleri de vardır.) Fakat Georg Cantor bize kümeler kuramı gibi büyük bir alanı açarak çalışma imkanı sunmuştur ve matematik dünyasına adını kazıtmıştır.

Son olarak bir soru ile bitirelim;

Doğal sayılar kümesi sonsuz ve alt kümesi olan çift sayılar da sonsuzdur. Birebir eşleme yapabilir miyiz?

Yazımızı Beğendiniz mi?
Önceki İçerikLewis Carroll Kimdir
Sonraki İçerikArk Kaynağı Nasıl Yapılır
Mushab Bedirhan Andız

Matematiğin eşsiz dünyasında kaybolmuş araştırma ve çalışmaktan büyük bir keyif alan, matematiksiz her saniyenin kendisi için kayıp bir an olduğunu düşünen matematik çalışamadığı günlerin telafisini ağlayarak affettirmeye çalışan, içindeki bu heyecanı, aşkı, tutkuyu dindirmek için yazmak zorunda kalan matematikçi…

11 Yorum

  1. Merhaba
    Örtenlik ve birebirlik “sonsuz kümeler” matematiğinin en az “sonlu kümeler” matematiğinin konusu olduğu kadar konusudur.

    Ancak örtenlik ve birebirlik kümelerin değil, kümelerin arasında kurulan işlevin/işlevlerin (fonksiyonun) bir sıfatıdır.

    Sonlu kümelerin eleman sayıları bellidir. Aralarında kurulmuş bir alfa işlevinde birebir fonksiyonlukdan bahsedilebilecek iki küme varsa, bu kümelerdeki eleman sayılarının birbirine eşit olması beklenir. Eleman sayıları eşit olmayan iki kümenin arasında kurulan bir fonksiyonun örtenliği incelemeye açık olsa bile birebir eşleşmesini mantık etmeye “esma’ü müsemma” gerek bile yoktur.

    Sonsuz kümelerde ise birebirlik ve örtenlik mevzusuna gelince;

    eleman sayıları sonlu olmayan tam sayılar ve çift sayılar gibi bir örnekte, tam sayılar tanım kümesi çift sayılar görüntü kümesi olarak kabul edildiğinde; eleman sayısıyla ilgili olamayacağına göre, kurulan fonksiyonla ilgilidir.

    Öyleki tam sayılar kümesi f(x)=2x şeklindeki bir fonksiyonla çift sayılar kümesindeki elemanlarla (sonlu büyüklükte (m) elemanlı sonlu alt kümlerinde) birebir eşleşir.

    Ancak şimdi sıkı durun, Çift sayılar kümesi ile tek sayılar kümesi birleşimi tam sayılar kümesidir. Tam sayılar kümesi ile çift sayılar kümesi arasında her zaman en az bir eleman sayısı bakımında en az tek sayı kadar fark olacaktır. (İki küme arasında test edeceğimiz fonsiyon bu örnekte f(x)=x olmakta; tam sayılar kümesi f(x)=x şeklindeki bir fonksiyonla çift sayılar kümesindeki elemanlarla birebir eşleşmez. Her eşleştime girişiminde tam sayılar kümesindeki tek sayılar kadar sayı, çift sayılarda eşleşememiş olacaktır. (gerek tam gerek çift sonsuz kümlerinin seçilmiş m’ elemanlı alt kümelerinde işlem yaptığımızı hatırlayın) )

    Buradan anlaşılacağı üzere birebirlik veya örtenlik kümeler arasında kurulacak fonsiyonun bir sıfatıdır, böylece f(x)=2x hariç tam sayılar kümesi ile çift sayılar kümesi arasında kurulabilecek fonksiyonlar ne birebirdir ne de örten.

  2. Bir çokgen düşünelim sonsuz kenarı var ve biz bu şekilde daireyi elde ederiz merkezden dairenin cevresindeki bir noktaya cizdigimiz kiriş tegete diktir yani o noktanın dış acisi 0 dir peki bu bi kabul mudur

  3. N doğal sayılar kümesi ve K ise onun çift sayılardan oluşan sonsuz alt kümesi olsun.
    Eğer f:K–>N bir fonksiyon olarak tanımlanırsa bu durumda f, 1-1 fonksiyondur ancak örten değildir.
    Bunun tersi ne birebir ne de örtendir.

  4. Eşlemek bir kümedeki elemanlara karşıt kümeden karşılığını bulmak demektir. burada 1 sayısının karşılığı 2 dir 2 sayısının karşılığı 4 ….. bu şekilde devam eder karşılık bulmayan bir sayı yoksa tam eşlenik olurlar.
    A=(1,2,3,4,…….n)
    B=(2,4,6,8,,,,,,,2n)

  5. x=y/2 olur fonksyion olarak ve birebir eşlenirler. Bi sorun yok eşlenmemeleri için x = 1 için y=2 x=2 için y=4 herbirinin karşılığı var o zaman eşleniktirler :)

  6. Sonsuz sonu olmayan demektir sürekli devam eden demek.Ancak evren de hiç bir şey yok ki sonu olmasın.
    Matematik dediğimiz şey bütünüyle somut değil.
    Ayrıca eşlemekten kasıt nedir ?

  7. Güzel bir yazı olmuş tebrikler.Soruya cevap vermek istiyorum adı üstünde çift sayılar doğal sayıların alt kümesidir sırf sonsuza gittikleri için bire bir eşleşme yapamayız.

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.