Taylor Serisi ve Garip Açılımları

7288
Taylor Serisi

Matematiğin sınırları; taylor serisi ve garip açılımları. Artık ikinci, üçüncü ya da daha fazla dereceden denklemlerle uğraşmaktan sıkıldınız mı? Aslında bakarsanız sıkılmayan bir kişi dahi bulamazsanız. Ama size çok kısa ve güzel bir yoldan bahsedeceğiz. Bu biraz daha profesyonel matematikçilerin başvurduğu dışarıdan bakınca biraz garip lakin incelendiğinde heyecan verici bir çözüm metodu…

Kosinüs ve Sinüs fonksiyonlarının seriler biçiminde ifade ediliş biçimleri vardır. Bunları birçoğunuz biliyorsunuzdur.

Sinüs fonksiyonları

cosinüs fonksiyonları

biçiminde tanımlanır. Birbirlerinin türevlerini alarak eşitliği kontrol edebilirsiniz. Buradaki faktöriyel ifadesinin ne anlam ifade ettiğini biliyoruz. Bu noktada herhangi bir “x” ifadesi ile sin(x) ve cos(x) ifadelerinin değerlerini sonsuza doğru yola çıkan seriler yardımıyla hesaplayabilmekteyiz. Sadece trigonometrik fonksiyonlar değil birbirinden güzel ve hoş fonksiyonları da tanımlayabilmekteyiz. Örneğin; Exponent fonksiyon olarak bilinen  fonksiyonunu tanımlayalım.

Bu açılım ile x yerine koyabileceğiniz herhangi bir sayısının e sayısının bir kuvveti olarak hesaplayabiliriz. Bakın şöyle bir örnek yapalım;

sayısını normal şartlarda nasıl hesaplarsanız? İlkokul mantığı ile 0.1 tane e=2,718.. sayısını mı çarpacağız? Bakın hemen formülde yerine koyalım. Daha sonra da hesap makinası ile hesapladığımız sonuca bakalım.

Hesap makinasında da hesap yaptığımızda,

bulmaktayız. Hemen hemen iyi yaklaşım gibi ne dersiniz? Yukarıda verilen sin(x) ve cos(x) değerli için de bir tane siz hesaplayabilirsiniz. Ama çok garip gelmedi değil mi? Merak etmeyin neyse ki elimde bir ilginç bilgi daha var. Matematik yıllar boyunca seriler ilgili birçok problemin çözümü için uğraşmıştır. Hemen hemen herkesin bildiği seriler yüzyıllar boyunca matematikçilerin ilgisini çekmiş hala da çekmeye de devam etmektedir. İlk zamanlarda serilerin doğuşu ve analizin gelişimi ile matematikçiler,

Taylor Serileri

şeklindeki serileri inceleme çabasına girdi. a sayısı için şayet 0 ile 1 arasındaysa serinin değerini hesaplayabilmekteyiz. a=1 olduğunda ise serinin ıraksak yani sonsuza gittiğini biliyoruz. Peki a ifadesi 1’den büyükse ne oluyor? Bunların hepsinin cevabı yıllar içinde yapılan çalışmalar neticesinde verildi. Fakat matematikçileri zorlayan bir konu vardı? Basel problemi adı verilen problemlerin sadece bir tanesi çözülebilmiş fakat diğer değerler için henüz kimse ağzını dahi açamamıştı. Doğanın matematiği var mı? biçiminde soru sorulduğunda hemen Basel probleminin bir çözümünü verebilirsiniz.

Basel problemi

Gördünüz mü? Ne kadar da heyecan verici bir durum. Leonhard Euler tarafından yıllarca uğraşılmış ve “Basel problemleri” ismini de bizzat kendi vermiştir. Günümüzde ise herkesin merak ettiği soru;

taylor serisi

İçinizden biri bu sorunun cevabını verip ölümsüzlüğü yakalayabilir? Matematikte açık problem diye ifade edilen sorulardan bir tanesidir….

Yazımızı Beğendiniz mi?
Mushab Bedirhan Andız

Matematiğin eşsiz dünyasında kaybolmuş araştırma ve çalışmaktan büyük bir keyif alan, matematiksiz her saniyenin kendisi için kayıp bir an olduğunu düşünen matematik çalışamadığı günlerin telafisini ağlayarak affettirmeye çalışan, içindeki bu heyecanı, aşkı, tutkuyu dindirmek için yazmak zorunda kalan matematikçi…

4 Yorum

  1. Merhaba Mushab Bey,

    Önce ifadenin dpğru olduğunu kabul ile bir düşünelim ne deniyor yazımızda,
    “… şeklindeki serileri inceleme çabasına girdi. a sayısı için şayet 0 ile 1 arasındaysa serinin değerini hesaplayabilmekteyiz.”

    Şimdi,

    n=1 den n sonsuza giderken yapılan toplamada Σ 1/(a^n) için
    a ya 0 ile 1 arasında bir değer verelim mesela 1/2 olsun. O halde
    1/(1/2) + 1/(1/2^2) + 1/(1/2^3) + 1/(1/2^4) + 1/(1/2^5) + …

    Bu toplam;

    1/(1/2) + 1/(1/4) + 1/(1/8) + 1/(1/16) + 1/(1/25) + …

    düzenlersek,
    2 + 4 + 8+ 16 + 32 + …. görüleceği üzere seri toplamı sonsuza gitmekte, bu durumda seri değeri hesaplanamaz. Serimiz ıraksak olur ve hesaplanamaz.

    Mis kokulu bir gül ufak diken mevcudiyetinden dolayı güllüğünden hirbirşey kaybetmez. Çalışmanız yazınız çok güzel; bu betimleme yarım kalır, yazınız kesinlikle çok güzel çünkü bu devirde ilginiz ve nezaketiniz ise harika.

    Yazınızda a’nın yer aldığı ifade ( Σ 1/(a^n)) geometrik bir dizi bildirecek şekilde tasarlanmış, zira serideki değişim seri değişkeni n olduğu için üstel. Öte yandan Basel probleminde ifadenin üstü sabit tabanı ise serinin artış değişkeni olduğu içn harmonik bir ifade şeklinde görülüyor. Türler farklı olduğunda sınır değişikliği uygulanabilir mi sorusunu özellikle bu örnekte bir daha düşünmek lazım. Yazıdaki ifadede üs değerleri değişirken Basel problemininin de yer aldığı harmoniklerde, tabanın seriyi taşıyan rolüne karşın eksponentimizin sabitliği esas. (https://plus.maths.org/content/infinite-series-surprises adresine bir göz atar mısınız)

    Basel problemi n’nin bir doğal sayı olduğu durumlarda 1/(k^n) ifadesinin n’in özel bir durumu n=2 iken, k nın artan tam sayı değerlerinde ortaya çıkan değerlerin ( (1/(k^2) seri elemanlarının) toplamını soruyordu,

    Bu soru tarzı 1/(k^2), 1/(k^3), … 1/(k^n) için de çoğaltılacak olursa harmonik seriler elde edilir. Euler 1744 senesinde n’nin 26 değeri için yani Σ 1/(k^26) sonucunu elde etti ve n’nin çift değerleri için genel bir yakınsamaya formül ve ispat gelişitirecek sağlamlıkta ulaştığını farketti.

    Ellerinize sağlık güzel konu ve başlıklarla onbinlerce kişiyi buluşturmak, ne mutlu size Mushab Bey.

    • OKURA NOT:
      a değeri 0 ve 1 arasında seri değeri ıraksak olur.

      Düzeltme Sahibi:
      Boratav Ersin Güleç
      Teşekkürlerimi Sunuyorum.
      İlgin ve dikkatin için de ayrıca teşekkür ederim.

  2. “İlk zamanlarda serilerin doğuşu ve analizin gelişimi ile matematikçiler …. şeklindeki serileri inceleme çabasına girdi. a sayısı için şayet 0 ile 1 arasındaysa serinin değerini hesaplayabilmekteyiz.”

    Merhaba, n=1 den n sonsuza giderken yapılan toplamada sanırım bu tümcede yer alan formülümüz (….) Σ 1/(a^n) değil de Σ 1/(n^a) mı olmalıydı; a ile n yer mi değiştirmeli acaba.

    Genel olarak a=1 için Σ 1/(x(n)^a+y)) ifadesi, n=1 den n sonsuza giderken harmonik seri üretir. a>1 ise asal sayılardan hatırlayacağımız zeta fonksiyonunun ( ζ(a) ) suyuna gitsek iyi olur.

    • Selam Boratav,
      Basel problemine bakarsan verdiğimiz bilgiler doğru. a ile n yi değiştirmenin anlamı sınır değişikliği ile düzelir. Ben yazıyı bir daha dikkatlice okudum fakat sorun yok. Riemann Zeta Fonksiyonu için de sağol!

Düşünceleriniz Nedir?

Lütfen yorumunuzu buraya yazınız.
Lütfen isminizi buraya yazını.